[论文解读] On Three Different Notions of Monotone Subsequences

Miklós Bóna|ArXiv.org|Nov 27, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文比较了排列中三种不同的单调子序列概念——标准模式避免、紧密包含和非常紧密包含——提供了枚举公式、渐近分布，并证明了在随机排列中，非常紧密的12-模式的数量收敛于泊松(1)分布。研究还表明，对于大多数长度为k的模式，非常紧密副本的数量上界不超过单调模式αₖ的数量。

ABSTRACT

We review how the monotone pattern compares to other patterns in terms of enumerative results on pattern avoiding permutations. We consider three natural definitions of pattern avoidance, give an overview of classic and recent formulas, and provide some new results related to limiting distributions.

研究动机与目标

• 比较排列中三种不同的单调子序列定义：标准模式避免、紧密包含和非常紧密包含。
• 分析避免这些不同单调模式定义的排列的枚举行为，特别是针对长度为3、4和k的模式。
• 研究固定模式的非常紧密副本数量的极限分布，特别是12-模式，并与标准和紧密副本的行为进行比较。
• 证明对于几乎所有长度为k的模式，非常紧密副本的数量上界不超过单调模式αₖ = 12⋯k的数量。
• 扩展关于模式避免和分布极限的已知结果，特别是在对称函数和矩方法的背景下。

提出的方法

• 使用标准模式避免的定义：若排列p中存在一个子序列，其元素的相对顺序与q相同，则称p包含模式q。
• 应用Simion-Schmidt双射证明Sₙ(132) = Cₙ（第n个卡塔兰数），并将其推广以证明对所有长度为3的模式q，均有Sₙ(q) = Cₙ。
• 使用生成函数和对称函数，特别是Ira Gessel关于Sₙ(1234)的公式，推导出精确的枚举结果。
• 应用矩法证明分布收敛性：证明非常紧密12-模式数量的j阶矩收敛于泊松(1)分布的j阶矩。
• 使用指示器随机变量Zₙ,ᵢ表示事件pᵢ + 1 = pᵢ₊₁，并计算E(Zₙʲ)以分析极限分布。
• 通过与单调模式αₖ的非常紧密副本概率P(n,i,αₖ)比较，证明Vₙ(q)（即模式q的非常紧密副本数量）的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在枚举和分布行为方面，三种单调子序列概念——标准、紧密和非常紧密——有何不同？
• RQ2 为何当n ≥ 6时，Sₙ(1342)与Sₙ(1234)和Sₙ(1324)不同，尽管三者均为长度为4的模式？
• RQ3 固定模式的非常紧密副本数量的极限分布是什么，特别是对于12-模式？
• RQ4 对于长度为k的哪些模式q，有Vₙ(q) ≤ Vₙ(αₖ)，且随着k增大，此类模式的出现频率如何？
• RQ5 矩法能否用于证明随机排列中非常紧密12-模式数量收敛于泊松分布？

主要发现

• 对于所有长度为3的模式q，避免q的n-排列数量均为第n个卡塔兰数Cₙ，与具体模式无关。
• 对于长度为4的模式，Sₙ(1342)、Sₙ(1234)和Sₙ(1324)是不同的序列，且当n ≥ 6时，Sₙ(1342)显著小于Sₙ(1234)。
• 利用对称函数，给出了Sₙ(1234)的精确公式：Sₙ(1234) = (1/(n+1)²(n+2)) × Σₖ₌₀ⁿ (2k choose k)(n+1 choose k+1)(n+2 choose k+1)。
• Sₙ(1342)的公式出人意料：涉及交错和与阶乘，不是简单的有理函数或超几何级数。
• 在随机n-排列中，非常紧密12-模式的数量在n → ∞时依分布收敛于泊松(1)分布。
• 在k → ∞的极限下，几乎所有长度为k的模式，其非常紧密副本数量的上界不超过单调模式αₖ = 12⋯k的数量。