[论文解读] On three families of dense Puiseux monoids

Chapman, Scott. T., Marly Gotti+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2016

Rings, Modules, and Algebras参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文研究了三类密集 Puiseux 半群——k-主要、p-进和乘法循环半群的原子结构，证明了乘法循环的原子 Puiseux 半群是 FF-半群且具有继承性原子性。此外，本文还构造了无穷多个非同构的原子 Puiseux 半群，其原子集在 ℝ≥0 中稠密。

ABSTRACT

A positive monoid is a submonoid of the nonnegative cone of a linearly ordered abelian group. The positive monoids of rank $1$ are called Puiseux monoids, and their atomicity, arithmetic of length, and factorization have been systematically investigated for about ten years. Each Puiseux monoid can be realized as an additive submonoid of the nonnegative cone of $\mathbb{Q}$. We say that a Puiseux monoid is dense if it is isomorphic to an additive submonoid of $\mathbb{Q}_{\ge 0}$ that is dense in $\mathbb{R}_{\ge 0}$ with respect to the Euclidean topology. Every non-dense Puiseux monoid is known to be a bounded factorization monoid. However, the atomic structure as well as the arithmetic and factorization properties of dense Puiseux monoids turn out to be quite interesting. In this paper, we study the atomic structure and some arithmetic and factorization aspects of three families of dense Puiseux monoids.

研究动机与目标

• 为了理解密集 Puiseux 半群的复杂原子结构，这些半群可能是反物质、原子的，或具有有限或可数个原子。
• 构造无穷多个非同构的原子 Puiseux 半群，其原子集在 ℝ≥0 中稠密。
• 表征 k-主要和乘法循环 Puiseux 半群中反物质与继承性原子子族。
• 建立 p-进 Puiseux 半群原子性的必要与充分条件，并将结果推广至更广泛的族。

提出的方法

• 通过选择具有特定有理形式的生成元，构造无穷多个原子 Puiseux 半群，以确保其原子集在 ℝ≥0 中稠密。
• 推广 k-主要 Puiseux 半群并利用素数幂上的赋值理论论证分析其原子性。
• 使用 p-进赋值技术，确定分母为固定素数幂的 Puiseux 半群何时具有原子性。
• 通过限制因子分解中原子数量，证明每个原子乘法循环 Puiseux 半群都是 FF-半群。
• 应用结果：有序域中的每个 BF-半群都是继承性原子的，并将其推广至密集 Puiseux 半群。
• 利用子半群嵌入和分子上的最大公因数条件，证明在更广泛的 Puiseux 半群族中具有继承性原子性。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否构造无穷多个非同构的原子 Puiseux 半群，其原子集在 ℝ≥0 中稠密？
• RQ2 哪些 k-主要 Puiseux 半群是反物质的？其特征条件是什么？
• RQ3 p-进 Puiseux 半群具有原子性的必要与充分条件是什么？
• RQ4 所有原子乘法循环 Puiseux 半群是否都是继承性原子的？它们是否满足 FF-半群性质？
• RQ5 当由具有共同素数因子的有理数的幂生成 Puiseux 半群时，在何种条件下它是继承性原子的？

主要发现

• 本文构造了无穷多个非同构的原子 Puiseux 半群，其原子集在 ℝ≥0 中稠密。
• 当生成元分子的最大公因数大于 1 时，k-主要 Puiseux 半群的一个子族被表征为反物质。
• 每个原子乘法循环 Puiseux 半群都是 FF-半群，即每个元素仅有有限多个原子分解。
• 每个原子乘法循环 Puiseux 半群都是继承性原子的，即其所有子半群都是原子的。
• 生成元分子共享一个共同素数因子是继承性原子性的必要条件；若无此条件，则可能出现非继承性原子的半群。
• Puiseux 半群 ⟨(2/77)^n, (3/77)^m | n,m∈ℕ⟩ 不是继承性原子的，因为它包含子半群 ⟨1/7^k | k∈ℕ⟩ 作为反物质半群。