[论文解读] On three notions of shadowing

Chris Good, Piotr Oprocha+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 1

一句话总结

本文在帐篷映射及具有恒定斜率的分段线性区间映射中建立了经典阴影性、s-极限阴影性与连接性质的等价性，同时通过构造反例证明了经典阴影性并不蕴含极限阴影性。此外，本文分析了阴影性性质在极大遍历子系统和逆极限（自然扩张）下的行为，通过反例表明结果是最优的。

ABSTRACT

We study three notions of shadowing: classical shadowing, limit (or asymptotic) shadowing, and s-limit shadowing. We show that classical and s-limit shadowing coincide for tent maps and, more generally, for piecewise linear interval maps with constant slopes, and are further equivalent to the linking property introduced by Chen in 1991. We also construct a system which exhibits shadowing but not limit shadowing, and we study how shadowing properties transfer to maximal transitive subsystems and inverse limits (sometimes called natural extensions). Where practicable, we show that our results are best possible by means of examples.

研究动机与目标

• 研究三种阴影性概念之间的关系：经典阴影性、极限（渐近）阴影性与s-极限阴影性。
• 确定经典阴影性是否蕴含极限阴影性，并识别二者重合的条件。
• 考察阴影性性质在极大遍历子系统与逆极限（自然扩张）中的传递性。
• 通过构造反例评估结果的最优性，即这些等价关系在无额外假设下无法进一步推广。

提出的方法

• 分析帐篷映射及具有恒定斜率的分段线性区间映射，以比较其阴影性性质。
• 引入并利用陈（1991）最初定义的连接性质，作为统一框架以建立等价性。
• 构造一个特定的动力系统，其表现出经典阴影性但不具有极限阴影性，以证明非蕴含关系。
• 利用逆极限（自然扩张）研究阴影性性质在扩展系统中如何被保持或改变。
• 应用拓扑与动力系统技术，验证阴影性概念之间的等价性与非等价性。
• 提供反例以表明所建立的等价关系是最优的，即在无额外假设下无法进一步推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于帐篷映射及具有恒定斜率的分段线性区间映射，经典阴影性与s-极限阴影性是否一致？
• RQ2 经典阴影性是否足以保证极限阴影性？是否存在表现出经典阴影性但不具有极限阴影性的系统？
• RQ3 当限制在极大遍历子系统时，阴影性性质如何表现？
• RQ4 在逆极限（自然扩张）下，阴影性性质如何被保持？
• RQ5 阴影性概念之间的等价关系是否最优？能否将其推广至更广泛的映射类？

主要发现

• 在帐篷映射及更一般的具有恒定斜率的分段线性区间映射中，经典阴影性与s-极限阴影性等价。
• 陈（1991）引入的连接性质在相同类映射中与经典阴影性和s-极限阴影性均等价。
• 存在一个动力系统，其表现出经典阴影性但不具有极限阴影性，从而证明经典阴影性不蕴含极限阴影性。
• 在所研究的映射类中，阴影性性质在传递到极大遍历子系统时被保持。
• 对阴影性性质在逆极限（自然扩张）中的传递性进行了分析，并给出了性质得以保持的条件。
• 通过反例表明，结果是最优的，即这些等价关系无法在无额外假设下进一步推广。