[论文解读] On three open problems related to quasi relative interior

Constantin Zălinescu|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 6被引用 13

一句话总结

本文解决了凸分析中关于拟相对内部（qri）的三个开放问题。它构造了反例，表明拟内部的和并不总是等于和的拟内部，且证明了当 qriC ∩ qriD ≠ ∅ 时，qri(C ∩ D) ⊆ qriC ∩ qriD 成立，从而回答了 Borwein 和 Goebel（2003）提出的两个问题以及 Grad 和 Pop（2014）的一个猜想。主要贡献在于在较弱条件下确立了交集运算规则的有效性，并通过 ℓ₂ 空间中的反例展示了和规则中的严格包含关系。

ABSTRACT

We give answers to two questions formulated by Borwein and Goebel in 2003 and to a conjecture formulated by Grad and Pop in 2014 related to calculus rules for quasi (relative) interior.

研究动机与目标

• 解决 Borwein 和 Goebel（2003）提出的关于凸集拟相对内部运算规则的两个开放问题。
• 验证或否定 Grad 和 Pop（2014）关于凸集 A, B 满足 qiB ≠ ∅ 时是否恒有 A + qiB = qi(A + B) 的猜想。
• 阐明交集与和规则在拟相对内部中成立的条件，特别是在无限维局部凸空间中的情形。
• 在 ℓ₂ 空间中提供一个反例，证明 qriC + qriD 是 qri(C + D) 的真子集，从而表明和规则并不总是等式。
• 证明当 qriC ∩ qriD ≠ ∅ 时，qri(C ∩ D) ⊆ qriC ∩ qriD 成立，确认了此前不确定的包含关系。

提出的方法

• 在希尔伯特空间 ℓ₂ 中构造反例，利用序列 (n⁻¹)ₙ≥₁ 和正锥体 ℓ₁⁺，以证明和规则中存在严格包含关系。
• 利用 qriC = {x ∈ C | cl(cone(C − x)) = cl(lin₀C)} 的刻画，分析无限维空间中 qri 集合的结构。
• 通过支撑泛函应用对偶理论：x₀ ∉ qriC 当且仅当存在 x* ∈ X* extbackslash {0}，使得 ⟨x₀, x*⟩ = inf x*(C)。
• 利用恒等式 qriC = C ∩ qri(clC) 将 qri 集合与闭包联系起来，从而能够分析边界点。
• 利用恒等式 qi(C + D) = qi(C + qiD) ⊂ qi(C + D) 分析拟内部在闵可夫斯基加法下的行为。
• 应用包含关系 qri(C ∩ D) ⊆ C ∩ qriD（当 C ∩ qriD ≠ ∅ 时），并在更强的交集假设下将其推广至 qriC ∩ qriD。

实验结果

研究问题

• RQ1 Grad 和 Pop（2014）猜想：对于满足 qiB ≠ ∅ 的凸集 A, B，是否恒有 A + qiB = qi(A + B)？
• RQ2 包含关系 qriC + qriD ⊂ qri(C + D) 是否可能严格，即是否存在 qriC + qriD ≠ qri(C + D) 的情形？
• RQ3 当 qriC ∩ qriD ≠ ∅ 时，qri(C ∩ D) ⊆ qriC ∩ qriD 是否成立？此问题由 Borwein 和 Goebel（2003）提出。
• RQ4 是否存在一个无限维空间中的凸集 C，使得 qriC 是 qiC 的真子集，或当 qiC ≠ ∅ 但 qriC = ∅ 时？
• RQ5 两个集合的和的拟相对内部是否可能无法由其拟相对内部的和生成？

主要发现

• Grad 和 Pop（2014）的猜想——即对于满足 qiB ≠ ∅ 的凸集 A, B，恒有 A + qiB = qi(A + B)——是错误的，该结论通过 ℓ₂ 空间中的反例得到证实。
• 一般情况下，包含关系 qriC + qriD ⊂ qri(C + D) 是严格的，如当 x̄ = (n⁻¹)ₙ≥₁ ∈ qi(C + D) 但 x̄ ∉ C + qiD 时所示。
• 集合 C = [0,1]x̄（其中 x̄ = (n⁻¹)ₙ≥₁）满足 qriC = (0,1)x̄，而 D = ℓ₁⁺ 满足 qiD = qriD = {x ∈ ℓ₁ | xₙ > 0 对所有 n 成立}，表明 x̄ ∈ qi(C + D) 但 x̄ ∉ C + qiD。
• 当 qriC ∩ qriD ≠ ∅ 时，包含关系 qri(C ∩ D) ⊆ qriC ∩ qriD 成立，从而确认了 Borwein 和 Goebel（2003）所提问题的肯定答案。
• 反例表明，即使 C 和 D 均为闭凸集且 qiD ≠ ∅，其拟内部的和也可能无法覆盖其和的拟内部。
• 该结果表明，qri 的运算规则相较于其他内部概念要严格得多，因此在无限维空间中应用和规则时必须格外谨慎。