[论文解读] On time scales and quasi-stationary distributions for multitype birth-and-death processes

Jean-René Chazottes, Pierre Collet+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文证明了在关联确定性常微分方程（ODE）具有唯一内部吸引不动点的多类型生灭过程中，存在唯一的拟平稳分布（qsd），并证明了条件非灭绝过程以指数速度收敛至该qsd。当 $ K $ 较大时，灭绝的平均时间在 $ K $ 上呈指数增长，且在时间 $ t \gg \log K $ 时，条件过程与qsd之间的总变差距离随时间呈指数衰减，从而量化了拟平稳状态的持续时间。

ABSTRACT

We consider a class of birth-and-death processes describing a population made of $d$ sub-populations of different types which interact with one another. The state space is $\mathbb{Z}_+^d$ (unbounded). We assume that the population goes almost surely to extinction, so that the unique stationary distribution is the Dirac measure at the origin. These processes are parametrized by a scaling parameter $K$ which can be thought as the order of magnitude of the total size of the population at time $0$. For any fixed finite time span, it is well-known that such processes, when renormalized by $K$, are close, in the limit $K o+\infty$, to the solutions of a certain differential equation in $\mathbb{R}_+^d$ whose vector field is determined by the birth and death rates. We consider the case where there is a unique attractive fixed point (off the boundary of the positive orthant) for the vector field (while the origin is repulsive). What is expected is that, for $K$ large, the process will stay in the vicinity of the fixed point for a very long time before being absorbed at the origin. To precisely describe this behavior, we prove the existence of a quasi-stationary distribution (qsd). In fact, we establish a bound for the total variation distance between the process conditioned to non-extinction before time $t$ and the qsd. This bound is exponentially small in $t$, for $t\gg \log K$. As a by-product, we obtain an estimate for the mean time to extinction in the qsd. We also quantify how close is the law of the process (not conditioned to non-extinction) either to the Dirac measure at the origin or to the qsd, for times much larger than $\log K$ and much smaller than the mean time to extinction, which is exponentially large as a function of $K$. Let us stress that we are interested in what happens for finite $K$. We obtain results much beyond what large deviation techniques could provide.

研究动机与目标

• 描述有限种群多类型生灭过程在几乎必然灭绝情况下的长期行为。
• 在关联确定性ODE具有唯一内部吸引不动点的条件下，建立此类过程的唯一拟平稳分布（qsd）的存在性。
• 量化条件非灭绝过程向qsd的收敛速度，尤其针对大 $ K $ 的情形。
• 在qsd下估计灭绝的平均时间，并刻画吸收前过程的分布特性。

提出的方法

• 分析一类在 $ \mathbb{Z}^d_+ \setminus \{0\} $ 上的马尔可夫跳跃过程，其出生与死亡速率按 $ K $ 缩放，使得在 $ K \to \infty $ 的极限下导出确定性ODE。
• 使用李雅普诺夫函数控制不动点 $ \mathbf{x}^* $ 附近的动力学，确保稳定性，并指导qsd的构造。
• 应用“四区域引理”将状态空间分解，以在不同区域（靠近不动点、靠近原点、瞬态区域）中控制过程的行为。
• 建立条件过程与qsd之间总变差距离的指数上界，表明其随时间衰减为 $ \exp(-c t) $，其中 $ t \gg \log K $。
• 推导在qsd下灭绝平均时间的上下界，表明其在 $ K $ 上呈指数增长。
• 利用对偶性和细致平衡论证分析不变测度的存在性，但主要方法避免依赖细致平衡，因其在高维情况下具有较强限制性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在关联ODE具有唯一内部吸引不动点的多类型生灭过程中，是否存在拟平稳分布？
• RQ2 条件非灭绝过程向拟平稳分布的收敛速度如何？
• RQ3 对于大 $ K $，灭绝平均时间的渐近行为是什么？
• RQ4 在时间 $ t \gg \log K $ 但远小于平均灭绝时间 $ \mathbb{E}[T_{\text{ext}}] $ 时，未条件化过程与灭绝处的狄拉克测度或qsd的接近程度如何？

主要发现

• 在关联ODE具有唯一内部吸引不动点的假设下，多类型生灭过程存在唯一的拟平稳分布。
• 条件非灭绝过程与qsd之间的总变差距离随时间 $ t $ 呈指数衰减，具体为 $ \exp(-c t) $，其中 $ t \gg \log K $。
• 在qsd下，灭绝的平均时间在 $ K $ 上呈指数增长，其速率取决于不动点附近生成元的谱间隙。
• 当时间 $ t \gg \log K $ 但 $ t \ll \mathbb{E}[T_{\text{ext}}] $ 时，未条件化过程的分布与qsd呈指数接近；而当 $ t \gg \mathbb{E}[T_{\text{ext}}] $ 时，其分布接近原点处的狄拉克测度。
• 结果在 $ K $ 上是非渐近的，提供了大偏差理论难以达到的精确定量估计。
• 该方法避免依赖细致平衡，使其适用于更广泛的模型类别，包括存在种间竞争的模型，其中细致平衡不成立。