[论文解读] On Titchmarsh-Weyl functions of first-order symmetric systems with arbitrary deficiency indices

Sergio Albeverio, M. M. Malamud+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 26被引用 3

一句话总结

该论文利用分解边界三元组，为具有任意（可能不相等）亏指数的一阶对称系统建立了全面的谱理论。它引入了一种广义的 $m$-函数，作为非哈密顿系统中 Titchmarsh-Weyl 系数的类比，通过 Nevanlinna 边界条件进行参数化，并建立了所有此类 $m$-函数的 Kre'in 型公式，将经典结果推广至非哈密顿系统和亏指数不等的情形。

ABSTRACT

We study general (not necessarily Hamiltonian) first-order symmetric systems $J y'(t)-B(t)y(t)=\D(t) f(t)$ on an interval $[a,b> $ with the regular endpoint $a$. The deficiency indices $n_\pm$ of the corresponding minimal relation $\Tmi$ may be arbitrary (possibly unequal). Our approach is based on the concept of a decomposing boundary triplet, which enables one to parametrize various classes of extensions of $\Tmi$ (self-adjoint, $m$-dissipative, etc.) in terms of boundary conditions imposed on regular and singular values of a function $y\in \dom ma$ at the endpoints $a$ and $b$ respectively. In particular, we describe self-adjoint and $ł$-depending Nevanlinna boundary conditions which are analogs of separated ones for Hamiltonian systems. With a boundary value problem involving such conditions we associate the $m$-function $m(\cd)$, which is an analog of the Titchmarsh-Weyl coefficient for the Hamiltonian system. In the simplest case of minimal (unequal) deficiency indices $n_\pm$ the $m$-function $m(\cd)$ coincides with the rectangular Titchmarsh-Weyl coefficient introduced by Hinton and Schneider. We parametrize all $m$-functions in terms of the Nevanlinna boundary parameter at the endpoint $b$ by means of the formula similar to the known Krein formula for resolvents. Application of these results to differential operators of an odd order enables us to complete the results by Everitt and Krishna Kumar on the Titchmarsh-Weyl theory of such operators.

研究动机与目标

• 将 Titchmarsh-Weyl 理论推广至具有任意且可能不相等亏指数 $n_+ \neq n_-$ 的一阶对称系统，超越经典哈密顿情形。
• 通过涉及端点处正则与奇异值的边界条件，对自伴扩展和 $m$-耗散扩展进行参数化。
• 引入并表征一种广义 $m$-函数，作为非哈密顿系统中 Titchmarsh-Weyl 系数的类比。
• 建立一个 Kre'in 型公式，将所有 $m$-函数与奇异端点 $b$ 处的 Nevanlinna 边界参数联系起来。
• 将该框架应用于完整建立奇数阶微分算子的谱理论，解决 Everitt 和 Krishna Kumar 之前工作中存在的空白。

提出的方法

• 利用分解边界三元组的概念，通过正则和奇异端点处的边界条件，将最小关系 $T_{\min}$ 的扩展参数化。
• 将 $m$-函数 $m_\tau(\lambda)$ 定义为唯一满足以下条件的算子函数：系统解 $v_\tau(t,\lambda)$ 满足 $v_\tau(t,\lambda) = Y_1(t,\lambda)m_\tau(\lambda) + Y_2(t,\lambda)$，且满足 $L^2$-可积性与边界条件。
• 将理论应用于系统 $Jy' - By = \lambda\Delta y + \Delta f$，其中 $J$ 为作用在 $H \oplus \widehat{H} \oplus H$ 上的分块矩阵，且 $\Delta \geq 0$，$B = B^*$。
• 引入广义化分离条件的 Nevanlinna 边界条件，利用奇异端点处的边界值 $[y, \chi_j]_b$。
• 推导出 $m$-函数的 Kre'in 型公式，以端点 $b$ 处的边界参数 $\tau \in \widetilde{R}_\alpha(\widetilde{\mathcal{H}}_b, \mathcal{H}_b)$ 表示，适用于 $n_+ \leq n_-$ 和 $n_+ < n_-$ 两种情形。
• 将结果重新表述为微分表达式 $l[y]$ 及其相关 $m$-函数 $m_\tau(\cdot)$，并证明当 $n_+ < n_-$ 时，其具有特定的三角形算子结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Titchmarsh-Weyl 理论推广至具有任意且可能不相等亏指数的一阶对称系统？
• RQ2 对于具有 $n_+ \neq n_-$ 的非哈密顿系统，Titchmarsh-Weyl 系数的适当类比是什么？
• RQ3 如何通过包含端点 $b$ 处奇异值的边界条件，对自伴和 $m$-耗散扩展进行参数化？
• RQ4 是否可以为具有任意亏指数的系统中的 $m$-函数建立 Kre'in 型公式？
• RQ5 该框架如何完成 Everitt 和 Krishna Kumar 之前研究的奇数阶微分算子的谱理论？

主要发现

• 该 $m$-函数 $m_\tau(\lambda)$ 是一个 Nevanlinna 算子函数，当 $n_+ < n_-$ 时，其具有类似于 (5.20) 和 (5.21) 的三角形算子形式。
• 广义 $m$-函数在亏指数不等的最小情形下，与 Hinton 和 Schneider 引入的矩形 Titchmarsh-Weyl 系数一致。
• 所有 $m$-函数均通过端点 $b$ 处的 Nevanlinna 边界参数 $\tau$ 参数化，其公式类似于 Kre'in 的预解公式。
• 系统解 $v_\tau(t,\lambda)$ 由 $m$-函数唯一确定，并满足在 $a$ 和 $b$ 处的 $L^2$-可积性与指定边界条件。
• 该框架允许通过 Nevanlinna 边界条件对自伴扩展进行完全参数化，包括奇异边界值 $[y, \chi_j]_b$。
• 该结果完整建立了奇数阶微分算子的 Titchmarsh-Weyl 理论，解决了 Everitt 和 Krishna Kumar 工作中的一个开放问题。