[论文解读] On topological complexity and LS-category

Alexander Dranishnikov|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文研究了拓扑复杂度（TC）与LS-范畴之间的关系，证明了Iwase-Sakai猜想：当 $TC(X) > \dim X + 1$ 时，单性拓扑复杂度 $TC^M(X)$ 等于标准拓扑复杂度 $TC(X)$，并给出了 $TC(X \vee Y)$ 的上下界。此外，本文否定了关于覆盖映射下 $TC$ 单调性的猜想，并利用LS-范畴给出了Arnold-Kuiper定理的简洁证明。

ABSTRACT

We present some results supporting the Iwase-Sakai conjecture about coincidence of the topological complexity $TC(X)$ and monoidal topological complexity $TC^M(X)$. Using these results we provide lower and upper bounds for the topological complexity of the wedge $X\vee Y$. We use these bounds to give a counterexample to the conjecture asserting that $TC(X')\le TC(X)$ for any covering map $p:X' o X$. We discuss a possible reduction of the monoidal topological complexity to the LS-category. Also we apply the LS-category to give a short proof of the Arnold-Kuiper theorem.

研究动机与目标

• 为支持Iwase-Sakai猜想 $TC^M(X) = TC(X)$，特别是在 $TC(X) > \dim X + 1$ 的条件下。
• 为楔和空间 $X \vee Y$ 的拓扑复杂度建立下界与上界。
• 否定关于覆盖映射下 $TC$ 单调性的猜想，即 $TC(X') \leq TC(X)$ 对任意覆盖映射 $p: X' \to X$ 成立。
• 探索通过新的 $\infty$-范畴不变量，将单性拓扑复杂度减少到LS-范畴的可能。
• 应用LS-范畴，给出Arnold-Kuiper定理的简洁证明，该定理涉及轨道空间 $\mathbb{C}P^2 / \mathbb{Z}_2 \cong S^4$。

提出的方法

• 使用Weinberger引理证明当 $X$ 为李群时，有 $TC^M(X) = TC(X)$。
• 应用非紧空间的 $\infty$-范畴概念，将 $TC^M(X)$ 与 $\operatorname{cat}(X \times X / \Delta X)$ 及 $\infty\text{-}\operatorname{cat}(X \times X \setminus \Delta X)$ 联系起来。
• 利用开覆盖结构与路径纤维丛 $\pi: PX \to X \times X$ 的截面，为 $TC(X \vee Y)$ 建立边界。
• 应用纤维丛的Schwarz示性数，通过映射锥 $C_p$ 的范畴来估计示性数，从而导出涉及 $\operatorname{cat}(C_p)$ 与 $\infty\text{-}\operatorname{cat}(C_p \setminus \{\ast\})$ 的不等式。
• 利用 $\mathbb{C}P^2 \cong SP^2(S^2)$ 的等变同胚关系，分析 $\mathbb{Z}_2$-作用及其轨道空间。
• 构造一个开覆盖 $M = F \cup U$，其中 $U$ 为开且同伦收缩，$F$ 为紧致且同胚于 $\bar{D}_+$，以证明 $\operatorname{cat}(M) = 2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有ENR空间，是否都有 $TC^M(X) = TC(X)$，特别是当 $TC(X) > \dim X + 1$ 时？
• RQ2 能否利用 $X$ 与 $Y$ 的复杂度来界定楔和空间 $X \vee Y$ 的拓扑复杂度？
• RQ3 拓扑复杂度在覆盖映射下是否单调，即对任意覆盖映射 $p: X' \to X$，是否都有 $TC(X') \leq TC(X)$？
• RQ4 能否通过非紧空间的修正LS-范畴不变量来刻画单性拓扑复杂度？
• RQ5 能否利用LS-范畴给出Arnold-Kuiper定理的简洁证明？

主要发现

• 当 $TC(X) > \dim X + 1$ 时，Iwase-Sakai猜想 $TC^M(X) = TC(X)$ 成立，并且通过Weinberger引理在李群情形下得到证明。
• 本文为 $TC(X \vee Y)$ 提供了边界，表明 $TC(X \vee Y)$ 的上界为 $TC(X) + TC(Y)$，下界为 $\max\{TC(X), TC(Y)\}$，但未给出精确公式。
• 构造了一个反例，否定了关于覆盖映射下 $TC$ 单调性的猜想，表明该不等式在一般情况下不成立。
• 单性拓扑复杂度 $TC^M(X)$ 被夹在 $\operatorname{cat}(X \times X / \Delta X)$ 与 $\infty\text{-}\operatorname{cat}(X \times X \setminus \Delta X)$ 之间，提示其可能可约化为LS-范畴。
• 利用LS-范畴，给出了 $\operatorname{cat}(\mathbb{C}P^2 / \mathbb{Z}_2) = 2$ 的简洁证明，结合Freedman定理，可推出轨道空间同胚于 $S^4$。
• 轨道空间 $\mathbb{C}P^2 / \mathbb{Z}_2$ 被证明是范畴为2的4-流形，且由于闭4-流形若范畴为2，则其同伦等价于 $S^4$，故其同胚于 $S^4$。