[论文解读] On topological complexity of Eilenberg-MacLane spaces

Yuli B. Rudyak|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用 9

一句话总结

该论文证明了对于任意满足 $ k \leq l \leq 2k $ 的整数 $ k $ 和 $ l $，存在一个离散群 $ \pi $，使得 Eilenberg-MacLane 空间 $ K(\pi,1) $ 的 Lusternik-Schnirelmann 范畴为 $ k $，而拓扑复杂度为 $ l $。该构造利用自由阿贝尔群的自由积，具体为 $ \pi = \mathbb{Z}^k * \mathbb{Z}^{l-k} $，实现了所有此类配对，凸显了对拓扑复杂度进行纯群论刻画的必要性。

ABSTRACT

We note that, for any natural $k$ and every natural $l$ between $k$ and $2k$, there exists a group $π$ with $\cat K(π,1)=k$ and $\TC(K(π,1))=l$. Because of this, we can set up a problem of searching of purely group-theoretical description of $\TC(K(π,1))$ as an invariant of $π$.

研究动机与目标

• 证明对于任意满足 $ k \leq l \leq 2k $ 的整数 $ k $ 和 $ l $，存在一个群 $ \pi $，使得 $ \operatorname{cat}(K(\pi,1)) = k $ 且 $ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) = l $。
• 表明 $ K(\pi,1) $-空间的拓扑复杂度不能仅由上同调不变量完全决定，因此需要更深层次的群论描述。
• 构造显式例子 $ \pi $，特别是 $ \pi = \mathbb{Z}^k * \mathbb{Z}^{l-k} $，以实现所有可能的 $ (\operatorname{cat}, \operatorname{TC}) $ 配对。
• 突出显示已知群论不变量（如上同调维数）与 $ K(\pi,1) $-空间的拓扑复杂度之间的差距。
• 鉴于 $ \operatorname{cat}(K(\pi,1)) $ 已知等于 $ \pi $ 的上同调维数，该研究促使人们寻找 $ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) $ 的纯群论刻画。

提出的方法

• 利用已知结果 $ \operatorname{cat}(T^m) = m $，其中 $ T^m $ 为 $ m $-环面，来确定 $ K(\pi,1) $-空间的范畴。
• 构造群 $ \pi = \mathbb{Z}^k * \mathbb{Z}^{l-k} $，其对应的 $ K(\pi,1) $ 同伦等价于楔和 $ T^k \vee T^{l-k} $，并利用 CW 复形在楔和下的范畴可加性。
• 应用不等式 $ \operatorname{cat}(G \times H) \leq \operatorname{TC}(G \vee H) \leq \operatorname{cat}G + \operatorname{cat}H $，该不等式源自 Dranishnikov 的结果，以界定楔和的拓扑复杂度。
• 利用 $ \operatorname{cat}(T^l) = l $ 以及 $ \operatorname{cat}(T^k) + \operatorname{cat}(T^{l-k}) = k + (l - k) = l $ 的事实，证明 $ \operatorname{TC}(T^k \vee T^{l-k}) = l $，从而实现等式。
• 验证 $ \operatorname{cat}(K(\pi,1)) = k $，因为 $ \operatorname{cat}(X \vee Y) = \max(\operatorname{cat}X, \operatorname{cat}Y) $，且 $ \operatorname{cat}(T^k) = k $，$ \operatorname{cat}(T^{l-k}) = l-k < k $。
• 最终得出 $ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) = l $，从而实现了在给定 $ \operatorname{cat} $ 条件下 $ \operatorname{TC} $ 的全部可能取值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将所有满足 $ k \leq l \leq 2k $ 的整数对 $ (k, l) $ 实现为某个 $ K(\pi,1) $-空间的 Lusternik-Schnirelmann 范畴与拓扑复杂度？
• RQ2 是否存在一个纯群论描述，用于 $ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) $，类似于已知的 $ \operatorname{cat}(K(\pi,1)) $ 的上同调维数描述？
• RQ3 在上同调维数之外，$ K(\pi,1) $-空间的拓扑复杂度在多大程度上依赖于群结构？
• RQ4 是否能仅从因子的范畴及其乘积来计算环面楔和的拓扑复杂度？
• RQ5 哪类群的最小集合能够使 $ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) $ 覆盖从 $ \operatorname{cat}(K(\pi,1)) $ 到 $ 2\operatorname{cat}(K(\pi,1)) $ 的所有取值？

主要发现

• 对于任意满足 $ k \leq l \leq 2k $ 的整数 $ k $ 和 $ l $，存在一个离散群 $ \pi $，使得 $ \operatorname{cat}(K(\pi,1)) = k $ 且 $ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) = l $。
• 群 $ \pi = \mathbb{Z}^k * \mathbb{Z}^{l-k} $ 实现了该配对，其中 $ K(\pi,1) \simeq T^k \vee T^{l-k} $，且拓扑复杂度恰好为 $ l $。
• $ K(\pi,1) $-空间的拓扑复杂度不能仅由上同调维数决定，表明其结构比先前假设的更为丰富。
• 该构造证实了不等式 $ \operatorname{cat}(X) \leq \operatorname{TC}(X) \leq \operatorname{cat}(X \times X) $ 在 $ K(\pi,1) $-空间类中是紧的，且在整个范围内均可取等。
• 该结果表明 $ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) $ 无法仅由 $ \pi $ 的上同调维数确定，因此寻找 $ \operatorname{TC} $ 的群论不变量既必要又非平凡。
• $ K(\pi,1) $-空间的拓扑复杂度可在区间 $ [k, 2k] $ 内独立变化，即使 $ \operatorname{cat}(K(\pi,1)) = k $，这表明其对群结构存在非平凡的依赖性。