[论文解读] On topological groups containing a Fréchet-Urysohn fan

Тарас Банах|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2009

Advanced Topology and Set Theory被引用 19

一句话总结

本文研究包含 Fréchet-Urysohn 扇（空间 V）的拓扑群，证明若此类群是完美正规序列空间或正规 k-空间，则每个闭合度量子集必须是局部紧致的。关键结果表明，非度量化的拓扑群若为其闭合度量子集的直接极限，则同胚于一个 $k_{\omega}$-空间与一个离散空间的乘积，从而刻画了其拓扑结构，并排除了某些代数嵌入的可能性。

ABSTRACT

Suppose G is a topological group containing a (closed) topological copy of the Frechet-Urysohn fan. If G is a perfectly normal sequential space (a normal k-space) then every closed metrizable subset in $G$ is locally compact. Applying this result to topological groups whose underlying topological space can be written as a direct limit of a sequence of closed metrizable subsets, we get that every such a group either is metrizable or is homeomorphic to the product of a $k_ω$-space and a discrete space.

研究动机与目标

• 确定空间在何种拓扑条件下无法支持拓扑群结构或凸结构。
• 分析包含 Fréchet-Urysohn 扇（空间 V）的拓扑群所蕴含的后果。
• 刻画作为闭合度量子集的直接极限的拓扑群的结构。
• 证明此类群要么是度量化的，要么同胚于一个 $k_{\omega}$-空间与一个离散空间的乘积。
• 建立若空间同时包含测试空间 $K$ 和 $V$，则其不能是拓扑群的闭合乘法子集，或线性拓扑空间中的闭合凸集。

提出的方法

• 定义两个测试空间：$K$（一个非局部紧致的度量空间）和 $V$（Fréchet-Urysohn 扇），作为对代数结构的阻碍。
• 使用 $V$ 上的直接极限拓扑来模拟 $l_2^\infty$ 等空间，这些空间作为嵌套度量子空间的直接极限而出现。
• 构造一个映射 $f: K \times V \to X$，表示群乘法或凸组合，并分析其连续性与闭合嵌入性质。
• 证明若 $X$ 同时包含 $K$ 和 $V$ 作为闭合子空间，则某些集合如 $Z = \{f(x_{n,m}, y_{n,k(n,m)})\}$ 在 $X$ 中是闭的，若 $X$ 支持群结构或凸结构，则导致矛盾。
• 利用 $k$-空间性质与紧致性论证，表明 $f(x_0, y_0)$ 不在该集合的闭包中，从而与连续性矛盾。
• 应用 $\mathcal{M}_\omega$-空间的结构定理，证明此类非度量群同胚于 $H \times D$，其中 $H$ 是一个 $k_\omega$-空间，$D$ 是离散空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种拓扑条件下，空间无法支持拓扑群结构？
• RQ2 若一空间包含 $V$ 和空间 $K$ 的闭合拷贝，其能否同胚于拓扑群的闭合乘法子集？
• RQ3 Fréchet-Urysohn 扇的存在对作为闭合度量子集的直接极限的拓扑群施加了何种结构约束？
• RQ4 若一拓扑群中非度量化的闭合度量子集序列的直接极限非度量化，其是否必同胚于一个 $k_\omega$-空间与一个离散空间的乘积？
• RQ5 在包含 $V$ 和 $K$ 的正规 $k$-空间中，每个闭合度量子集是否必须是局部紧致的？

主要发现

• 若一个正规 $k$-空间同时包含 $K$ 和 $V$ 的闭合拷贝，则其不能同胚于任何拓扑群的闭合乘法子集。
• 若一个正规 $k$-空间包含 $V$ 的闭合拷贝，则其中每个闭合度量子集必须是局部紧致的。
• 一个作为 $\mathcal{M}_\omega$-空间且非度量化的拓扑群，必包含 Fréchet-Urysohn 扇 $V$ 的闭合拷贝，且每个闭合度量子集均为局部紧致。
• 每个非度量化的、作为 $\mathcal{M}_\omega$-空间的拓扑群，同胚于一个 $k_\omega$-空间与一个离散空间的乘积。
• 此类群的开可分子群 $H$ 是一个 $k_\omega$-空间，且整个群可分解为 $H \times D$，其中 $D$ 为某离散空间，表明该群在局部上是 $k_\omega$-空间。