[论文解读] On Topological Homotopy Groups of $n$-Hawaiian like spaces

Fateme Helen Ghane, Zainab Shehab Hamed+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 13

一句话总结

本文证明，对于 $n$-夏威夷似空间，当 $n \geq 2$ 时，其拓扑 $n$-同伦群 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 是一个拓扑群，通过证明自然同态 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ 是双射，并表明从 $n$-环路上的紧致开拓扑导出的商拓扑与一个拟离散度量拓扑一致，从而证明了度量性与拓扑群结构。

ABSTRACT

By an $n$-Hawaiian like space $X$ we mean the natural inverse limit, $\displaystyle{\varprojlim (Y_i^{(n)},y_i^*)}$, where $(Y_i^{(n)},y_i^*)=\bigvee_{j\leq i}(X_j^{(n)},x_j^*)$ is the wedge of $X_j^{(n)}$'s in which $X_j^{(n)}$'s are $(n-1)$-connected, locally $(n-1)$-connected, $n$-semilocally simply connected and compact CW spaces. In this paper, first we show that the natural homomorphism $\displaystyle{β_n:π_n(X,*) ightarrow \varprojlim π_n(Y_i^{(n)},y_i^*)}$ is bijection. Second, using this fact we prove that the topological $n$-homotopy group of an $n$-Hawaiian like space, $π_n^{top}(X,x^*)$, is a topological group for all $n\geq 2$ which is a partial answer to the open question whether $π_n^{top}(X,x^*)$ is a topological group for any space $X$ and $n\geq 1$. Moreover, we show that $π_n^{top}(X,x^*)$ is metrizable.

研究动机与目标

• 解决关于 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 是否对所有 $n \geq 1$ 及任意空间 $X$ 都是拓扑群的开放问题。
• 建立 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 是 $n$-夏威夷似空间的拓扑群，此类空间为非局部 $n$-连通空间。
• 证明此类空间的拓扑 $n$-同伦群是度量化的，并具有相容的拟离散度量拓扑。
• 证明自然同态 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ 是双射，从而实现拓扑结构的转移。

提出的方法

• 将 $n$-夏威夷似空间定义为逆极限 $X = \varprojlim (Y_i^{(n)}, y_i^*)$，其中 $Y_i^{(n)} = \bigvee_{j \leq i} X_j^{(n)}$，且每个 $X_j^{(n)}$ 为 $(n-1)$-连通、局部 $(n-1)$-连通、$n$-半局部单连通且为紧致 CW 复形。
• 通过将更高楔积坍缩至基点的投影映射 $R_j: X \to Y_j^{(n)}$ 构造自然同态 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$。
• 为 $\pi_n(X,*)$ 赋予两种拓扑：从 $\Omega^n(X,x^*)$ 上的紧致开拓扑导出的商拓扑 $\tau^{\text{top}}$，以及通过 $\beta_n$ 拉回的拟离散拓扑 $\tau^{\text{lim}}$。
• 证明 $\beta_n$ 是 $\pi_n^{\text{lim}}(X,*)$ 与离散群的逆极限 $\varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ 之间的同胚，从而表明 $\tau^{\text{lim}}$ 是度量化的。
• 利用满足群拓扑公理的对称邻域滤子基，证明 $\pi_n^{\text{lim}}(X,*)$ 是一个拓扑群。
• 通过交换图和 $\beta_n^{\text{top}}$ 的连续性，证明 $\tau^{\text{top}} = \tau^{\text{lim}}$，从而证明 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 是拓扑群且为度量空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \geq 2$ 时，$\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 是否为 $n$-夏威夷似空间的拓扑群？
• RQ2 自然同态 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ 是否诱导出拓扑 $n$-同伦群与离散群逆极限之间的同胚？
• RQ3 能否证明从 $\Omega^n(X,x^*)$ 上的紧致开拓扑继承的 $\pi_n(X,*)$ 上的商拓扑与通过 $\beta_n$ 拉回的拟离散拓扑一致？
• RQ4 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 是否为 $n$-夏威夷似空间的度量空间？
• RQ5 $\mathcal{H}_n$ 的 $\pi_1^{\text{top}}$ 失去度量性是否在更高 $n$-同伦群中依然成立？

主要发现

• 对于 $n$-夏威夷似空间，自然同态 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ 是双射。
• 对于所有 $n \geq 2$，拓扑 $n$-同伦群 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 是一个拓扑群。
• 由于 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 的拓扑与拟离散度量拓扑一致，因此它是度量化的。
• 从 $\Omega^n(X,x^*)$ 上的紧致开拓扑继承的商拓扑与通过 $\beta_n$ 拉回的拟离散拓扑等价，确保了拓扑的一致性。
• $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 是一个拟离散度量空间，因为其同胚于具有离散因子的 $\varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$。
• 该证明弥补了早期研究中的空白，表明 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 在 $n$-夏威夷似空间上具有正确的拓扑群结构，为一般空间上该开放问题提供了部分解答。