[论文解读] On topological properties of the group of the null sequences valued in an Abelian topological group

Saak Gabriyelyan|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 41被引用 3

一句话总结

本文研究了取值于阿贝尔拓扑群 X 的零序列群 𝔉₀(X) 的拓扑性质，该群配备一致拓扑。若 X 是 (E)-空间、严格天使空间或 Š-空间，则 𝔉₀(X) 继承这些性质。对于局部紧致阿贝尔群，本文证明了完全不连通性、Schur 性质、紧致性尊重性以及 Schwartz 群结构等性质彼此等价，从而对 𝔉₀(X) 何时为自反群或具有 Schur 性质给出了完整刻画。

ABSTRACT

Following [23], denote by $\mathfrak{F}_0$ the functor on the category $\mathbf{TAG}$ of all Hausdorff Abelian topological groups and continuous homomorphisms which passes each $X\in \mathbf{TAG}$ to the group of all $X$-valued null sequences endowed with the uniform topology. We prove that if $X\in \mathbf{TAG}$ is an $(E)$-space (respectively, a strictly angelic space or a Š-space), then $\mathfrak{F}_0 (X)$ is an $(E)$-space (respectively, a strictly angelic space or a Š-space). We study respected properties for topological groups in particular from categorical point of view. Using this investigation we show that for a locally compact Abelian (LCA) group $X$ the following are equivalent: 1) $X$ is totally disconnected, 2) $\mathfrak{F}_0 (X)$ is a Schwartz group, 3) $\mathfrak{F}_0 (X)$ respects compactness, 4) $\mathfrak{F}_0(X)$ has the Schur property. So, if a LCA group $X$ has non-zero connected component, the group $\mathfrak{F}_0(X)$ is a reflexive non-Schwartz group which does not have the Schur property. We prove also that for every compact connected metrizable Abelian group $X$ the group $\mathfrak{F}_0 (X)$ is monothetic that generalizes a result by Rolewicz for $X=\mathbb{T}$.

研究动机与目标

• 刻画配备一致拓扑的 X-值零序列群 𝔉₀(X) 的拓扑性质。
• 确定在何种条件下 𝔉₀(X) 能够从基群 X 继承 (E)-空间、严格天使空间或 Š-空间等性质。
• 在局部紧致阿贝尔群中，建立完全不连通性、Schur 性质、紧致性尊重性与 Schwartz 性质之间的完全等价性。
• 将已知结果（如 𝔉₀(𝕋) 的单生成性）推广至所有紧致连通可度量化阿贝尔群。
• 研究 𝔉₀ 及相关函子在豪斯多夫阿贝尔拓扑群范畴中的函子行为。

提出的方法

• 本文定义了函子 𝔉₀: TAG → TAG，将每个阿贝尔拓扑群 X 映射到配备一致拓扑的 X-值零序列群。
• 它运用范畴论工具，包括函子下拓扑性质的不变性与保持性，分析 (E)-空间、天使空间或 Š-空间等性质如何从 X 传递到 𝔉₀(X)。
• 它应用关于 Bohr 函子和特征群的已知结果，分析 𝔉₀(X) 中的对偶性与自反性。
• 它利用 Glicksberg 定理及相关对偶理论，建立局部紧致阿贝尔群中紧致性尊重性、Schur 性质与 Schwartz 群结构之间的等价关系。
• 通过将 Rolewicz 对 𝕋 的结果推广，证明了对所有紧致连通可度量化阿贝尔群 X，𝔉₀(X) 是单生成的。
• 它提出了关于无限指标集 I 的对偶群及相关函子 𝔉₀ᴵ、𝔉∞ᴵ 和 𝔉ᴵ 的开放问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，零序列群 𝔉₀(X) 能够从基群 X 继承 (E)-空间、严格天使空间或 Š-空间等拓扑性质？
• RQ2 对于局部紧致阿贝尔群 X，何时 𝔉₀(X) 是 Schwartz 群、尊重紧致性或具有 Schur 性质？
• RQ3 𝔉₀(X) 何时是自反群，这与 X 的拓扑结构有何关联？
• RQ4 对每个紧致连通可度量化阿贝尔群 X，零序列群 𝔉₀(X) 是否都是单生成的？
• RQ5 对紧致 LCA 群 X，𝔉∞(X) 的对偶群结构如何？这些群在何种情况下是自反的？

主要发现

• 若 X 是 (E)-空间、严格天使空间或 Š-空间，则 𝔉₀(X) 同样具有该性质。
• 对局部紧致阿贝尔群 X，以下四者等价：(1) X 完全不连通，(2) 𝔉₀(X) 是 Schwartz 群，(3) 𝔉₀(X) 尊重紧致性，(4) 𝔈₀(X) 具有 Schur 性质。
• 若 X 是局部紧致阿贝尔群且其非零连通分支非平凡，则 𝔉₀(X) 是自反群，但不是 Schwartz 群，且不具有 Schur 性质。
• 对每个紧致连通可度量化阿贝尔群 X，群 𝔉₀(X) 是单生成的，这推广了 Rolewicz 对 X=𝕋 的结果。
• 对每个局部紧致阿贝尔群 X，𝔉₀(X) 是自反群，但 𝔉∞(X) 的对偶群尚未完全描述，尽管已知当 X=𝕋 时其基数为 2^𝔠。
• 本文识别出关于无限指标集 I 的函子 𝔉₀ᴵ、𝔉∞ᴵ 和 𝔉ᴵ 的对偶性与自反性的开放问题。