[论文解读] On total claim amount for marked Poisson cluster models

Bojan Basrak, Olivier Wintenberger+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2018

Probability and Risk Models参考文献 11被引用 3

一句话总结

该论文建立了带标记泊松聚类模型中总索赔金额的极限定理，其中索赔到达呈现聚类特征，且标记同时影响索赔金额和未来的到达率。当索赔金额服从正则变体分布时，若索赔金额尾部重，归一化后的总索赔金额依分布收敛到无限方差的稳定分布；若满足二阶矩条件，则收敛到正态分布。

ABSTRACT

We study the asymptotic distribution of the total claim amount for marked Poisson cluster models. The marks determine the size and other characteristics of the individual claims and potentially influence arrival rate of the future claims. We find sufficient conditions under which the total claim amount satisfies the central limit theorem or alternatively tends in distribution to an infinite variance stable random variable. We discuss several Poisson cluster models in detail, paying special attention to the marked Hawkes processes as our key example.

研究动机与目标

• 研究带标记泊松聚类过程中的总索赔金额的渐近分布，将经典的Cramér–Lundberg模型扩展至包含聚类效应。
• 确定总索赔金额满足中心极限定理或收敛到无限方差稳定分布的条件。
• 分析标记与索赔到达时间之间依赖关系对总索赔金额极限行为的影响。
• 对带标记霍克斯过程进行详细分析，作为此类聚类模型的关键实例。
• 建立独立更新过程子ordinated的正则变体i.i.d.随机变量和的函数极限定理，适用于索赔金额过程。

提出的方法

• 将索赔到达建模为[0,∞) × S上的带标记泊松点过程，其中S中的标记决定索赔金额并影响未来到达。
• 将总索赔金额S(t)定义为在[0,t] × S上对索赔金额函数f(a)关于点过程N的积分。
• 采用聚类结构，其中每个原始点Γi生成一个独立的聚类过程G^Ai，其分布为K(Ai, ⋅)，允许标记影响聚类强度。
• 应用独立更新过程子ordinated的i.i.d.正则变体随机变量和的函数极限定理，推导S(t)的渐近行为。
• 运用正则变体理论与Tauberian定理，刻画在重尾索赔金额分布下总索赔金额的尾部行为。
• 将结果应用于带标记霍克斯过程，证明当索赔金额尾部分布为指数∈(0,2)的正则变体时，收敛到稳定分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带标记泊松聚类模型中的总索赔金额满足中心极限定理？
• RQ2 索赔金额何时具有无限方差？归一化后总索赔金额的极限分布是什么？
• RQ3 标记与到达时间之间的依赖关系如何影响总索赔金额的渐近行为？
• RQ4 在索赔金额为正则变体分布的带标记霍克斯过程中，总索赔金额的精确渐近分布是什么？
• RQ5 子ordinated和的函数极限定理能否用于推导聚类模型中总索赔金额的极限分布？

主要发现

• 当索赔金额具有有限方差且满足二阶矩条件时，归一化后的总索赔金额S(t)依分布收敛到正态（高斯）随机变量。
• 当索赔金额的尾部指数α ∈ (0,1)为正则变体时，归一化后的总索赔金额S(t)/a_⌊νt⌋依分布收敛到严格稳定α-稳定随机变量Gα。
• 对于α ∈ (1,2)，若延迟索赔的期望数量衰减足够快，则中心化后的总索赔金额(S(t) − tνμD)/a_⌊νt⌋依分布收敛到严格稳定α-稳定随机变量Gα。
• 在涉及聚类大小分布尾部行为与t后到达索赔期望数量衰减速率的矩条件下，稳定分布的收敛性成立。
• 结果被推广到带标记霍克斯过程的平稳版本，在相同条件下确认了相同的极限行为。
• 论文证明，在聚类大小分布尾部满足所述衰减条件时，不完整索赔引起的误差项εt渐近可忽略（oP(at)）。