[论文解读] On total dominating sets in graphs

Maryam Atapour, Nasrin Soltankhah|ArXiv.org|Oct 26, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文刻画了达到总支配数上界 $\gamma_t(G) \leq n - \Delta(G) + 1$ 的二分图与树，证明此类图必为星图 $K_{1,t}$ 与 $r$ 个 $K_2$ 的不相交并。此外，本文建立了 $\gamma_t(G)$ 的新上下界，并确定了循环完全图 $K_{n,d}$ 的精确总支配数，表明当 $n \geq 4d-2$ 时 $\gamma_t(K_{n,d}) = 2$，当 $3d \leq n \leq 4d-3$ 时 $\gamma_t(K_{n,d}) = 3$。结果改进了已知界，并为一类稠密图提供了精确值。

ABSTRACT

A set $S$ of vertices in a graph $G(V,E)$ is called a dominating set if every vertex $v\in V$ is either an element of $S$ or is adjacent to an element of $S$. A set $S$ of vertices in a graph $G(V,E)$ is called a total dominating set if every vertex $v\in V$ is adjacent to an element of $S$. The domination number of a graph $G$ denoted by $γ(G)$ is the minimum cardinality of a dominating set in $G$. Respectively the total domination number of a graph $G$ denoted by $γ_t(G)$ is the minimum cardinality of a total dominating set in $G$. An upper bound for $γ_t(G)$ which has been achieved by Cockayne and et al. in $\cite{coc}$ is: for any graph $G$ with no isolated vertex and maximum degree $Δ(G)$ and $n$ vertices, $γ_t(G)\leq n-Δ(G)+1$. Here we characterize bipartite graphs and trees which achieve this upper bound. Further we present some another upper and lower bounds for $γ_t(G)$. Also, for circular complete graphs, we determine the value of $γ_t(G)$.

研究动机与目标

• 刻画所有达到总支配数上界 $\gamma_t(G) \leq n - \Delta(G) + 1$ 的二分图与树。
• 为一般图的 $\gamma_t(G)$ 建立新的上下界。
• 确定循环完全图 $K_{n,d}$ 的总支配数的精确值。

提出的方法

• 利用总支配集的度约束，证明 $\gamma_t(G) \geq \lceil n / \Delta(G) \rceil$。
• 通过直径与围长条件推导界：当图的直径为 2 时，有 $\gamma_t(G) \leq \delta(G) + 1$；当图的围长大于等于 5 时，有 $\gamma_t(G) \leq n - \lceil g(G)/2 \rceil + 1$。
• 对具有两部分 $A$ 与 $B$ 的二分图进行结构分析，聚焦于顶点度数与邻域关系，推导出达到上界的必要条件。
• 使用反证法与构造法，证明在二分图中仅当图的形式为 $K_{1,t} \cup rK_2$ 时才能达到该上界。
• 为循环完全图 $K_{n,d}$ 显式构造总支配集，证明当 $n \geq 4d-2$ 时 $\gamma_t = 2$，当 $3d \leq n \leq 4d-3$ 时 $\gamma_t = 3$。
• 通过 $K_n$、$C_{4n}$、$P_{4n}$ 与 $C_5$ 等极值例子验证边界的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些二分图满足 $\gamma_t(G) = n - \Delta(G) + 1$？
• RQ2 哪些树满足 $\gamma_t(T) = n - \Delta(T) + 1$？
• RQ3 以 $n$、$\Delta(G)$、$\delta(G)$ 与围长表示的 $\gamma_t(G)$ 的紧致上下界是什么？
• RQ4 循环完全图 $K_{n,d}$ 的 $\gamma_t(K_{n,d})$ 精确值是多少？
• RQ5 对于哪些 $n$ 与 $d$，有 $\gamma_t(K_{n,d}) = 2$ 或 $3$？

主要发现

• 唯一达到 $\gamma_t(G) = n - \Delta(G) + 1$ 的二分图是形式为 $K_{1,t} \cup rK_2$ 的图（$r \geq 0$），其中 $t = \Delta(G)$。
• 唯一达到 $\gamma_t(T) = n - \Delta(T) + 1$ 的树是星图，即 $T = K_{1,n-1}$。
• 对任意连通图 $G$，有 $\gamma_t(G) \geq \lceil n / \Delta(G) \rceil$，且该界在 $K_n$、$C_{4n}$ 与 $P_{4n}$ 上是紧的。
• 若 $\text{diam}(G) = 2$，则 $\gamma_t(G) \leq \delta(G) + 1$，且该界在 $C_5$ 上是紧的，因为 $\gamma_t(C_5) = 3 = \delta(C_5) + 1$。
• 对围长 $g(G) \geq 5$ 且 $\delta(G) \geq 2$ 的连通图，有 $\gamma_t(G) \leq n - \lceil g(G)/2 \rceil + 1$，且在特定结构条件下可取等。
• 对 $d \geq 3$ 的循环完全图 $K_{n,d}$，当 $n \geq 4d - 2$ 时 $\gamma_t(K_{n,d}) = 2$，当 $3d \leq n \leq 4d - 3$ 时 $\gamma_t(K_{n,d}) = 3$。