[论文解读] On total flexibility of local structures of Finsler tori without conjugate points

Dong Chen|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文证明，任何二维流形上的局部Finsler结构均可等距嵌入到无共轭点的Finsler环面上，展示了此类嵌入不存在局部障碍。关键方法是通过Busemann型函数构造一个扰动的包络函数，该函数可恢复Finsler度量，并确保所得环面度量光滑且无共轭点，即使在原始度量对称时也能保持对称性。

ABSTRACT

We show that given a point on a Finsler surface, one can always find a neighborhood of the point and isometrically embed this neighborhood into a Finsler torus without conjugate points.

研究动机与目标

• 研究曲面上的局部Finsler结构是否可嵌入到全局定义的无共轭点Finsler环面中。
• 确定在Finsler设定下，此类嵌入是否存在内在的局部障碍，与刚性Riemann情形形成对比。
• 将Busemann函数的概念推广到更一般的、与射线无关的包络函数框架中，以捕捉Finsler度量。
• 证明无共轭点并不对Finsler度量施加任何局部限制，即使在非对称情形下亦然。
• 当原始Finsler结构具有对称性时，确保嵌入过程保持该对称性。

提出的方法

• 在 $ \partial D_\epsilon \times D_\epsilon $ 上定义一个 $ C^k $-光滑的包络函数 $ F $，基于相对于基点出发的测地线的距离函数。
• 为 $ \mathbb{R}^2 $ 上的常值Finsler度量 $ \varphi_0 $ 构造一个参考包络函数 $ F^0 $，作为扰动的模型。
• 通过单位分解将 $ F^0 $ 扰动为 $ \tilde{F} $，使其定义在 $ \partial D_\epsilon \times \mathbb{R}^2 $ 上，确保 $ \tilde{F} $ 是 $ C^k $-小的扰动。
• 利用引理1证明 $ \tilde{F} $ 是 $ \mathbb{R}^2 $ 上 $ C^k $ Finsler度量 $ \tilde{\varphi} $ 的包络函数，该度量在 $ D_\epsilon $ 上与原始度量 $ \varphi $ 一致，且在更大圆盘外与 $ \varphi_0 $ 一致。
• 当原始度量具有对称性时，利用反对称性条件 $ F(p,x) = -F(-p,x) $ 构造 $ \tilde{F} $ 的对称版本，并定义对称距离函数 $ \tilde{d}(x,y) = \max_p \tilde{F}(p,x) - \tilde{F}(p,y) $。
• 将Finsler度量 $ \tilde{\varphi}(x,v) $ 定义为 $ \tilde{d} $ 的方向导数，确保 $ \tilde{\varphi} $ 是 $ C^k $ 且无共轭点，依据引理2。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个曲面上的 $ C^k $ 局部Finsler结构是否都能等距嵌入到无共轭点的Finsler环面中？
• RQ2 无共轭点的Finsler环面是否对可能的Finsler度量施加任何局部限制？
• RQ3 此类嵌入的构造能否保持原始Finsler度量的对称性？
• RQ4 是否存在Busemann函数的推广形式，使得可在不依赖特定测地线射线的前提下，全局重构Finsler度量？
• RQ5 无共轭点的Finsler环面的测地流是否可与平坦Finsler环面的测地流光滑共轭？

主要发现

• 任何满足 $ k \geq 3 $ 的 $ C^k $ Finsler曲面度量均可等距嵌入到 $ C^k $ Finsler环面中，且该环面无共轭点。
• 该构造依赖于对与常值Finsler度量相关的参考包络函数进行扰动，确保所得度量为 $ C^k $-光滑且无共轭点。
• 所得Finsler环面度量 $ \tilde{\varphi} $ 在点 $ p_0 $ 的邻域内与原始度量 $ \varphi $ 一致，从而保持局部几何结构。
• 若原始Finsler结构具有对称性，则所构造的嵌入可保持对称性，使得 $ \tilde{\varphi} $ 也为对称度量。
• 该方法确保所得环面中所有测地线均为极小测地线，从而根据引理2可推出无共轭点。
• 包络函数框架允许实现与射线无关的Finsler度量重构，推广了Busemann函数的作用。