[论文解读] On transformation operators and Riesz basis property of root vectors system for $n imes n$ Dirac type operators. Application to the Timoshenko beam model

Anton A. Lunyov, M. M. Malamud|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2021

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 4

一句话总结

本文建立了具有广义边界条件的 n×n Dirac 型系统三角变换算子的存在性，证明在严格正则边界条件下，根向量系在加权 L² 空间中构成 Riesz 基。主要贡献是给出了一个谱渐近公式，表明扰动系统的特征值收敛于未扰动系统的特征值，该结果应用于 Timoshenko 梁模型，即使在变参数情形下，也得到了显式渐近表达式和 Riesz 基性质。

ABSTRACT

The paper is concerned with the following $n imes n$ Dirac type equation$$Ly=-iB(x)^{-1}(y'+Q(x)y)=λy, \quad B(x)=B(x)^*,\quad y={ m col}(y_1,\ldots,y_n),\quad x\in[0,\ell],$$ on a finite interval $[0,\ell]$. Here $Q$ is a summable potential $n imes n$ matrix function and $B$ is an invertible self-adjoint diagonal bounded matrix function. If $n=2m$ and $B(x)={ m diag}(-I_m,I_m)$, this equation is equivalent to Dirac equation of order $n$. We show the existence of triangular transformation operators for such equation under additional uniform separation conditions on the entries of the matrix function $B$. Here we apply this result to study direct spectral properties of the boundary value problem (BVP) associated with the above equation subject to the general boundary conditions $U(y)=Cy(0)+Dy(\ell)=0,{ m rank}(C\ D)=n$. We apply this result to show that the deviation of the characteristic determinants of this BVP and the unperturbed BVP (with $Q=0$) is a Fourier transform of some summable function, which in turn yields asymptotic behavior of the spectrum in the case of regular boundary conditions. Namely, $λ_m=λ_m^0+o(1)$ as $m o\infty$, where $\{λ_m\}_{m\in\mathbb{Z}}$ and $\{λ_m^0\}_{m\in\mathbb{Z}}$ are sequences of eigenvalues of perturbed and unperturbed ($Q=0$) BVP, respectively. Further, we prove that the system of root vectors of the above BVP constitutes a Riesz basis in a certain weighted $L^2$-space, provided that the boundary conditions are strictly regular. The main results are applied to establish asymptotic behavior of eigenvalues and eigenvectors, and the Riesz basis property for the dynamic generator of the Timoshenko beam model. We also found a new case when eigenvalues have an explicit asymptotic, which to the best of our knowledge is new even in the case of constant parameters of the model.

研究动机与目标

• 在权矩阵 B 的条目满足一致分离条件时，建立 n×n Dirac 型系统三角变换算子的存在性。
• 在广义边界条件下，分析与 Dirac 型系统相关的边值问题（BVP）的谱性质。
• 证明当边界条件为严格正则时，根向量系在加权 L² 空间中构成 Riesz 基。
• 将结果应用于空间非齐次阻尼 Timoshenko 梁模型的动力生成算子，推导特征值渐近性与 Riesz 基性质。
• 识别一种新情形，即使在常数参数情形下，也能得到显式渐近特征值，据作者所知，此为首次发现。

提出的方法

• 在对角权矩阵 B 的条目满足一致分离条件时，推导 Dirac 型系统的三角变换算子。
• 利用变换算子将特征行列式与未扰动情形的偏差表示为由核函数导出的函数的傅里叶变换。
• 通过特征行列式表示，建立特征值的渐近行为，证明当 m → ∞ 时，λₘ = λₘ⁰ + o(1)。
• 利用谱分析技术，证明根向量的完备性、一致极小性及渐近行为。
• 通过将 Timoshenko 梁模型约化为 Dirac 型系统并分析其谱性质，将结果应用于该模型。
• 在一般条件下，证明根向量系具有括号形式的 Riesz 基性质，并在特殊情形下建立显式渐近公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，具有广义边界条件的 n×n Dirac 型算子的根向量系在加权 L² 空间中构成 Riesz 基？
• RQ2 扰动 Dirac 型系统的谱如何渐近表现？扰动系统与未扰动系统的特征值之间存在何种精确关系？
• RQ3 变换算子方法能否用于推导变参数 Timoshenko 梁模型中特征值与特征向量的显式渐近公式？
• RQ4 在何种条件下，Timoshenko 梁算子的特征值是渐近单重且分离的，且何时能获得显式渐近表达式？
• RQ5 在何种情形下，Timoshenko 梁算子的根向量系构成带括号的 Riesz 基？该结果如何推广先前的研究？

主要发现

• 边值问题的特征行列式与未扰动系统的差异，等于由变换算子核显式构造的函数的傅里叶变换。
• 扰动系统的特征值满足当 m → ∞ 时，λₘ = λₘ⁰ + o(1)，其中 λₘ⁰ 是未扰动系统（Q = 0）的特征值。
• 当边界条件为严格正则时，根向量系在加权 L² 空间中构成 Riesz 基。
• 对于 Timoshenko 梁模型，根向量系在一般条件下构成带括号的 Riesz 基，且在一种此前未识别的新情形下，特征值具有显式渐近公式。
• 本文识别出一种新情形，即使在常数参数情形下，Timoshenko 梁模型的特征值也具有显式渐近表达式，据作者所知，此为首次发现。
• 结果推广并修正了文献中关于变参数下 Riesz 基性质与完备性的既有结论，尤其在更广泛的边界条件下。