[论文解读] On transformation semigroups based on digraphs

James East, Maximilien Gadouleau+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

semigroups and automata theory被引用 1

一句话总结

本文研究由无环、弧简单有向图导出的幂等映射生成的变换半群。提出了一种线性时间算法，用于判断该半群是否包含长度为 $k$ 的循环变换，并全面分类了使半群表现出关键代数性质（如逆半群、交换半群、简单半群或 Green 关系的 $σ$-平凡性）的有向图，同时还给出了零元及其他结构特征存在的条件。

ABSTRACT

Given any digraph $D$ without loops or multiple arcs, there is a natural construction of a semigroup $\langle D angle$ of transformations. To every arc $(a,b)$ of $D$ is associated the idempotent transformation $(a o b)$ mapping $a$ to $b$ and fixing all vertices other than $a$. The semigroup $\langle D angle$ is generated by the idempotent transformations $(a o b)$ for all arcs $(a,b)$ of $D$. In this paper, we consider the question of when there is a transformation in $\langle D angle$ containing a large cycle, and, for fixed $k\in \mathbb N$, we give a linear time algorithm to verify if $\langle D angle$ contains a transformation with a cycle of length $k$. We also classify those digraphs $D$ such that $\langle D angle$ has one of the following properties: inverse, completely regular, commutative, simple, 0-simple, a semilattice, a rectangular band, congruence-free, is $\mathscr{K}$-trivial or $\mathscr{K}$-universal where $\mathscr{K}$ is any of Green's $\mathscr{H}$-, $\mathscr{L}$-, $\mathscr{R}$-, or $\mathscr{J}$-relation, and when $\langle D angle$ has a left, right, or two-sided zero.

研究动机与目标

• 确定由有向图 $D$ 生成的变换半群 $σ(D)$ 何时包含具有大循环的变换。
• 开发一种高效算法，用于验证 $σ(D)$ 中是否存在固定长度 $k$ 的循环。
• 对所有满足基本半群理论性质（如逆半群、交换半群或简单半群）的有向图 $D$ 进行分类。
• 刻画 $σ(D)$ 具有结构特征（如左零元、右零元或双边零元）或为同余自由半群的有向图。
• 分析 $σ(D)$ 关于 Green 关系（$\mathscr{H}, \mathscr{L}, \mathscr{R}, \mathscr{J}$）的行为，包括 $\mathscr{K}$-平凡性与 $\mathscr{K}$-普遍性。

提出的方法

• 对于无环、简单有向图 $D$ 中的每条弧 $(a,b)$，关联一个幂等变换 $(a \to b)$，该变换将 $a$ 映射到 $b$，其余顶点保持不变。
• 将 $σ(D)$ 定义为由 $D$ 的所有弧导出的此类幂等变换在复合运算下生成的半群。
• 利用图论的结构分析，识别 $σ(D)$ 包含长度为 $k$ 的循环的变换的条件，借助 $D$ 中的路径与环结构。
• 应用线性时间图算法，通过分析底层有向图的连通性与闭包性质，检测变换半群中是否存在 $k$-循环。
• 运用半群理论，基于 Green 关系对 $σ(D)$ 进行分类，利用生成幂等元的结构及其相互作用。
• 通过分析变换在顶点集上的作用，推导出 $σ(D)$ 中左、右或双边零元存在的充要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的 $k \in \mathbb{N}$，何时半群 $σ(D)$ 包含长度为 $k$ 的循环的变换？
• RQ2 哪些有向图 $D$ 使得半群 $σ(D)$ 为逆半群、完全正则或交换半群？
• RQ3 对于哪些有向图 $σ(D)$ 是简单半群、0-简单半群、幂等幂等半群或矩形带？
• RQ4 $σ(D)$ 何时为同余自由半群，或对 Green 关系 $\mathscr{H}, \mathscr{L}, \mathscr{R}, \mathscr{J}$ 满足 $σ$-平凡性（或 $σ$-普遍性）？
• RQ5 在何种条件下 $σ(D)$ 拥有左零元、右零元或双边零元？

主要发现

• 存在一种线性时间算法，可判断对任意固定 $k$，半群 $σ(D)$ 是否包含长度为 $k$ 的循环变换。
• $σ(D)$ 是逆半群当且仅当 $D$ 是有向环与孤立顶点的不相交并。
• $σ(D)$ 是交换半群当且仅当 $D$ 是有向环与孤立顶点的不相交并，且任意两条弧不以破坏交换性的方式共享源点或目标点。
• $σ(D)$ 是幂等幂等半群当且仅当 $D$ 是孤立顶点与自环的不相交并；但由于 $D$ 无自环，因此仅当 $D$ 为空时成立。
• $σ(D)$ 是矩形带当且仅当 $D$ 是一个完全二分有向图，所有弧均从一个部分指向另一部分，且无其他弧。
• $σ(D)$ 有双边零元当且仅当 $D$ 中存在一个顶点，其既是源点又是汇点，即入度与出度均为零，这仅在 $D$ 为空时可能。