[论文解读] On Transitory Queueing

Harsha Honnappa, Rahul Jain+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2014

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 51被引用 12

一句话总结

本文提出了一种分析瞬态排队系统（非平稳、有限时域或有限群体的排队系统）的新框架，采用群体加速（PA）技术，该技术推广了流体极限与扩散极限。研究证明，在PA下，三种不同模型（$Δ_{(i)}/GI/1$、条件化$G/GI/1$、带时钟不确定性的调度流量）在渐近意义上具有分布等价性，其中流体极限表现为斯科罗霍德反射，扩散极限则为反射映射的方向导数。

ABSTRACT

We introduce a framework and develop a theory of transitory queueing models. These are models that are not only non-stationary and time-varying but also have other features such as the queueing system operates over finite time, or only a finite population arrives. Such models are relevant in many real-world settings, from queues at post-offces, DMV, concert halls and stadia to out-patient departments at hospitals. We develop fluid and diffusion limits for a large class of transitory queueing models. We then introduce three specific models that fit within this framework, namely, the Delta(i)/GI/1 model, the conditioned G/GI/1 model, and an arrival model of scheduled traffic with epoch uncertainty. We show that asymptotically these models are distributionally equivalent, i.e., they have the same fluid and diffusion limits. We note that our framework provides the first ever way of analyzing the standard G/GI/1 model when we condition on the number of arrivals. In obtaining these results, we provide generalizations and extensions of the Glivenko-Cantelli and Donskers Theorem for empirical processes with triangular arrays. Our analysis uses the population acceleration technique that we introduce and develop. This may be useful in analysis of other non-stationary and non-ergodic queuing models.

研究动机与目标

• 开发一个理论框架，用于分析在有限时间或有限群体下运行的非平稳、非遍历排队系统。
• 解决经典方法（如均匀加速和逐点平稳近似）在非马氏、瞬态设置下的局限性。
• 将Glivenko-Cantelli和Donsker定理推广至三角阵列，以分析瞬态系统中的经验过程。
• 在对到达和服求过程的弱假设下，为一大类瞬态排队模型建立流体极限与扩散极限。
• 证明在所提框架下，三种不同的瞬态模型在渐近意义上具有分布等价性。

提出的方法

• 引入群体加速（PA）技术，该技术在固定时间区间内缩放用户数量，而不对时间轴进行重标度，从而实现渐近分析。
• 应用函数型大数定律（fSLLN）与函数型中心极限定理（fCLT），推导排队长度过程的流体极限与扩散极限。
• 利用净输入过程的斯科罗霍德反射来表征流体极限，允许在过载、欠载和临界负载状态下呈现时变行为。
• 将扩散极限表示为斯科罗霍德反射映射在扩散净输入过程方向上的方向导数。
• 将Glivenko-Cantelli和Donsker定理推广至三角阵列，以处理非独立同分布及时间变化设置下的经验过程。
• 采用$M_1$拓扑分析弱收敛下过程的收敛性，确保极限定理的稳健性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一个通用框架，用于分析非平稳、非遍历且在有限时间或有限群体下运行的瞬态排队系统？
• RQ2 当经典遍历性假设不成立时，流体极限与扩散极限在瞬态系统中如何表现？
• RQ3 不同瞬态排队模型（如$\Delta_{(i)}/GI/1$、条件化$G/GI/1$、带时钟不确定性的调度流量）在渐近意义上是否具有分布等价性？
• RQ4 能否在对到达数量进行条件化的情况下有意义地分析标准$G/GI/1$模型？如果可以，其方法是什么？
• RQ5 为处理瞬态系统中出现的三角阵列经验过程，经典极限定理（Glivenko-Cantelli、Donsker）需要哪些扩展？

主要发现

• 排队长度过程的流体极限是净输入过程流体极限的斯科罗霍德反射，该极限具有时变性，并在过载、欠载和临界负载状态下切换。
• 排队长度过程的扩散极限是斯科罗霍德反射映射在扩散净输入过程方向上的方向导数，提供了精确的渐近近似。
• $\Delta_{(i)}/GI/1$、条件化$G/GI/1$以及带时钟不确定性的调度流量模型在PA框架下渐近分布等价，共享相同的流体极限与扩散极限。
• 该框架首次提供了对标准$G/GI/1$模型在对到达数量进行条件化情况下的分析方法，解决了排队理论中长期存在的空白。
• 建立了适用于三角阵列的广义Glivenko-Cantelli与Donsker定理，使得非独立同分布及时间变化设置下的经验过程收敛分析成为可能。
• 通过在索引$j_n^*$与$j_n^{**}$上的极限论证，证明了流体极限的统一收敛性，这些索引表征了在群体缩放框架下到达分布的支集。