[论文解读] On Triangle Counting Parameterized by Twin-Width

Stefan Kratsch, Florian Nelles+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在图中进行三角形计数的高效参数化算法，时间复杂度为 $\mathcal{O}(d^2n + m)$，其中 $d$ 为孪生宽度，$n$ 和 $m$ 分别为顶点数和边数。该方法基于紧凑的 $d$-收缩序列进行动态规划，通过维护辅助值来追踪收缩步骤中的三角形计数，相较于无参数化的组合算法，在孪生宽度有界的图上实现了显著的性能提升。

ABSTRACT

In this report we present an algorithm solving Triangle Counting in time $O(d^2n+m)$, where n and m, respectively, denote the number of vertices and edges of a graph G and d denotes its twin-width, a recently introduced graph parameter. We assume that a compact representation of a d-contraction sequence of G is given.

研究动机与目标

• 设计一种快速的参数化算法用于图中的三角形计数，利用最近提出的孪生宽度参数。
• 实现一种对孪生宽度 $d$ 自适应的运行时间，优于目前已知的无参数化组合算法。
• 提供一种动态规划方法，高效追踪通过一系列顶点收缩过程的三角形计数。
• 证明在孪生宽度有界的图类（如 cographs、单位区间图和图的子图闭包类）上，三角形计数可被高效求解。
• 为将该方法推广至其他孪生宽度参数化的问题奠定基础。

提出的方法

• 该算法在 $d$-收缩序列的紧凑表示上运行，其中顶点以保持红色度至多为 $d$ 的方式依次被收缩。
• 通过动态规划维护并更新当前三色图中每个顶点的辅助值，追踪各收缩步骤中黑色和红色邻居的数量。
• 在每个收缩步骤中，算法利用有界的红色度，在 $\mathcal{O}(d)$ 时间内更新邻接结构和辅助数据。
• 通过追踪三色图表示中边颜色（黑色或红色）之间的转换，累积三角形计数。
• 使用过程 TriCountOneNeighbor 和 TriCountTwoNeighbors 分别在常数时间或线性时间内计算当前三色图中涉及一条或两条黑色边的三角形数量。
• 整体时间复杂度被限制在 $\mathcal{O}(d^2n + m)$，其来源为 $n$ 次收缩，每次收缩因邻居检查与更新需 $\mathcal{O}(d^2)$ 时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以孪生宽度 $d$ 为参数时，是否可以在 $\mathcal{O}(d^2n + m)$ 时间内求解三角形计数问题？
• RQ2 是否存在一种基于收缩序列的动态规划方法，能高效追踪三角形计数，同时保持 $\mathcal{O}(d^2n + m)$ 的时间复杂度？
• RQ3 该算法在孪生宽度较小的图上的性能与无参数化组合算法相比如何？
• RQ4 该方法是否可推广至其他孪生宽度参数化的问题？
• RQ5 能否通过利用快速矩阵乘法，实现 $\mathcal{O}(\operatorname{tww}^{\omega-1}n + m)$ 时间复杂度的算法？

主要发现

• 该算法的时间复杂度为 $\mathcal{O}(d^2n + m)$，其中 $d$ 为孪生宽度，$n$ 和 $m$ 分别为顶点数和边数。
• 该方法假设已提供紧凑的 $d$-收缩序列，这是孪生宽度相关算法中的常见假设。
• 该算法为每个顶点维护辅助值，每次收缩更新耗时 $\mathcal{O}(d)$，从而确保整体性能高效。
• 通过追踪三色图表示中状态转换，三角形计数被正确计算，且在收缩序列推进过程中每个三角形恰好被计数一次。
• 该算法具有自适应性，在孪生宽度较小的图上优于目前已知的最佳无参数化组合算法。
• 该方法为设计其他孪生宽度参数化问题（如独立集或最短路径）的高效算法打开了新途径。