[论文解读] On Truthful Mechanisms for Maximin Share Allocations

Georgios Amanatidis, Georgios Birmpas+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2016

Game Theory and Voting Systems参考文献 9被引用 29

一句话总结

本文研究了在不可分物品分配中使用最大最小份额（MMS）保证的诚实机制。提出了三种模型——基数、序数和一致估值——分析了诚实性与近似可计算性，表明即使在独立同分布（i.i.d.）估值的大物品设置下，简单的随机机制也能实现任意好的近似比。

ABSTRACT

We study a fair division problem with indivisible items, namely the computation of maximin share allocations. Given a set of $n$ players, the maximin share of a single player is the best she can guarantee to herself, if she would partition the items in any way she prefers, into $n$ bundles, and then receive her least desirable bundle. The objective then is to find an allocation, so that each player is guaranteed her maximin share. Previous works have studied this problem mostly algorithmically, providing constant factor approximation algorithms. In this work we embark on a mechanism design approach and investigate the existence of truthful mechanisms. We propose three models regarding the information that the mechanism attempts to elicit from the players, based on the cardinal and ordinal representation of preferences. We establish positive and negative (impossibility) results for each model and highlight the limitations imposed by truthfulness on the approximability of the problem. Finally, we pay particular attention to the case of two players, which already leads to challenging questions.

研究动机与目标

• 研究在不可分物品的公平分配中，是否存在可实现近似或精确最大最小份额（MMS）分配的诚实确定性机制。
• 分析在三种不同信息模型下——完整基数估值、序数排名和与给定排名一致的估值——诚实性与近似可计算性之间的权衡。
• 识别诚实性对近似比的限制，特别是在两人情况下的限制。
• 探讨随机机制是否能够克服确定性诚实机制的不可能性结果。
• 在MMS分配中，明确区分诚实机制与非诚实机制所能实现的保证之间的差异。

提出的方法

• 提出三种模型：(1) 基数——玩家报告完整的可加估值函数；(2) 序数——玩家仅报告物品间的排名；(3) 一致——机制已知排名，并获取与之相容的估值。
• 使用切比雪夫不等式和霍夫丁不等式，分析一种随机机制的性能，该机制将每个物品均匀随机分配给玩家。
• 分析每位玩家所获总价值的期望与方差，表明在独立同分布（i.i.i.d.）物品估值下，其值集中在均值附近。
• 建立在 m（物品数量）较大时，偏离 ρ·μi 的概率以 O(n²/m) 的速率下降，从而实现高概率近似保证。
• 该机制独立于玩家输入运行，由于缺乏策略性影响，确保了诚实性。
• 考虑具有有界均值 ε > 0 的分布 Di(n,m)，允许涵盖均匀分布和离散分布等广泛类别的 i.i.d. 物品估值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在基数、序数或一致估值模型下，诚实的确定性机制能否实现MMS分配的非平凡近似比？
• RQ2 诚实性对MMS分配近似可计算性的根本限制是什么，特别是在两人情况下？
• RQ3 在实现诚实近似时，序数信息相较于基数信息的效能如何？
• RQ4 当物品数量较大时，随机诚实机制能否实现任意好的近似比？
• RQ5 在小件物品数量（如 m ∈ {4,5}）下，模型之间的等价性（如基数与序数）在多大程度上成立？

主要发现

• 在 m 较大时，一种简单的随机机制——将每个物品均匀随机分配——以高概率为每位玩家提供至少 ρ·μi 的总价值，其中 ρ < 1，μi 为物品的期望价值。
• 失败概率（即任一玩家获得少于 ρ·μi 的价值）被限制在 O(n²/m)，随着 m 增大而趋近于零。
• 该机制是诚实的，因为它忽略所有玩家输入，并且物品分配与所报告的估值无关。
• 使用切比雪夫不等式来限制玩家获得低于阈值价值的概率，得到 O(n²/m) 的误差项。
• 霍夫丁不等式表明，经验均值偏离真实均值的概率呈指数级小，支持高概率保证。
• 结果表明，对于一类广泛分布（Di(n,m) 具有有界均值），随着 m 增大，随机机制可实现任意好的近似比。