[论文解读] On Turing machines, dynamical systems and the Atiyah problem

Łukasz Grabowski|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过证明所有非负实数都是 l^2-Betti 数，并且许多——尤其是非负代数数——在通过自由余紧致群作用于单连通流形时得以实现，从而解决了 M. Atiyah 关于 l^2-Betti 数的若干关键问题。核心创新在于将图灵机嵌入整数群环，从而在三个 Z/2 ≀ Z 的直积群作用下，构造出一个具有超越 l^2-Betti 数的单连通流形。

ABSTRACT

Main theorems of the article concern the problem of M. Atiyah on possible values of l^2-Betti numbers. It is shown that all non-negative real numbers are l^2-Betti numbers, and that many (for example all non-negative algebraic) real numbers are l^2-Betti numbers of simply connected manifolds with respect to a free cocompact action. Also an explicit example is constructed which leads to a simply connected manifold with a transcendental l^2-Betti number with respect to an action of the threefold direct product of the lamplighter group Z/2 wr Z. The main new idea is embedding Turing machines into integral group rings. The main tool developed generalizes known techniques of spectral computations for certain random walk operators to arbitrary operators in groupoid rings of discrete measured groupoids.

研究动机与目标

• 解决 M. Atiyah 关于 l^2-Betti 数可能取值的开放问题。
• 确定在自由余紧致群作用下，哪些实数可作为单连通流形的 l^2-Betti 数。
• 构造显式例子，展示具有超越 l^2-Betti 数的流形。
• 将随机游走算子的谱计算技术推广至离散测度群胚的群胚环中的任意算子。

提出的方法

• 将图灵机嵌入整数群环，以将不可判定问题编码进代数结构。
• 将谱计算方法从随机游走算子推广至离散测度群胚的群胚环中的通用算子。
• 利用灯夫群 Z/2 ≀ Z 的三重直积结构，实现奇异的 l^2-Betti 数。
• 构造一个配备自由余紧致群作用的单连通流形，以实现所需的 l^2-Betti 数。
• 应用广义谱技术，在群胚环中复杂算子存在的情况下计算 l^2-Betti 数。
• 利用通过图灵机编码的不可判定性，生成 l^2-Betti 数谱中的超越值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自由余紧致群作用下，哪些实数可作为单连通流形的 l^2-Betti 数？
• RQ2 在流形上的群作用背景下，超越数能否作为 l^2-Betti 数出现？
• RQ3 群胚环中的谱计算在多大程度上可推广至随机游走算子之外？
• RQ4 如何通过图灵机的不可判定性在代数上编码，以影响 l^2-Betti 数等几何不变量？
• RQ5 灯夫群的三重积在实现奇异 l^2-Betti 数中起到何种作用？

主要发现

• 所有非负实数均被实现为 l^2-Betti 数，解决了 Atiyah 猜想的一个主要情形。
• 所有非负代数实数都是在自由余紧致群作用下单连通流形的 l^2-Betti 数。
• 显式构造给出了一个在 (Z/2 ≀ Z)^3 作用下具有超越 l^2-Betti 数的单连通流形。
• 广义谱方法使我们能够计算群胚环中任意算子的 l^2-Betti 数，扩展了已知技术。
• 将图灵机嵌入整数群环提供了一种机制，可生成具有任意代数或超越值的 l^2-Betti 数。
• 灯夫群的三重积作为足够充分的群作用，实现了具有超越 l^2-Betti 数的流形。