[论文解读] On two dimensional weight two odd representations of totally real fields

Andrew Snowden|ArXiv.org|May 26, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 12

一句话总结

本文建立了关于完全实域上奇、权为2、二维p进伽罗瓦表示的模形式提升定理与潜在模形式定理，扩展了Kisin、Taylor以及Khare-Wintenberger的结果。证明了在某些地方无瑕或不可约的足够不可约此类表示——特别是那些在某处无瑕或不可约的表示——均来自GL₂型阿贝尔簇，从而证明了Fontaine-Mazur猜想的新情形。

ABSTRACT

We say that a two dimensional p-adic Galois representation of a number field F is weight two if it is de Rham with Hodge-Tate weights 0 and -1 equally distributed at each place above p; for example, the Tate module of an elliptic curve has this property. The purpose of this paper is to establish a variety of results concerning odd weight two representations of totally real fields in as great a generality as we are able. Most of these results are improvements upon existing results. Three of our main results are as follows. (1) We prove a modularity lifting theorem for odd weight two representations, extending a theorem of Kisin to include representations which are not potentially crystalline. (2) We show that essentially any odd weight two representation is potentially modular, following the ideas of Taylor. (3) We show that one can lift essentially any odd residual representation to a minimally ramified weight two p-adic representation, using some ideas of Khare-Wintenberger. As an application of these results we show that if rho is a sufficiently irreducible odd weight two p-adic representation of a totally real field F and either F has odd degree or rho is indecomposable at some finite place away from p then rho occurs as the Tate module of a GL_2-type abelian variety. This establishes some new cases of the Fontaine-Mazur conjecture.

研究动机与目标

• 将模形式提升定理扩展至非必然潜在晶体的完全实域上的奇、权为2表示。
• 在模p约化下满足温和不可约性条件的前提下，建立本质上任意奇、权为2表示的潜在模形式性。
• 证明任何足够不可约的奇性残余表示均可提升为最小有ramification的权为2的p进伽罗瓦表示。
• 证明在满足温和的域论条件或局部不可约性条件时，此类表示可来自GL₂型阿贝尔簇，从而验证了Fontaine-Mazur猜想的新情形。

提出的方法

• 利用伽罗瓦表示的形变理论，在p之上各素点处构造具有受控局部行为的形变。
• 应用形变环的R = T定理，将伽罗瓦形变与自守形式联系起来。
• 采用可解下降技巧，当扩张次数为奇数时，将自守形式从伽罗瓦扩张下降到基域。
• 利用基域扩张与四元数代数之间的转移，处理偶数次扩张，并确保在某有限处的平方可积性。
• 应用相容系统与L函数的理论，推导出相关L函数的解析性质。
• 利用权为1与权为2的希尔伯特自守形式之间的同余关系，构造具有所需性质的形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 模形式提升定理能否扩展至非潜在晶体的奇、权为2伽罗瓦表示？
• RQ2 在何种条件下，完全实域上的奇、权为2伽罗瓦表示是潜在模形式的？
• RQ3 完全实域上任意足够不可约的奇性残余表示是否可被提升为最小有ramification的权为2 p进伽罗瓦表示？
• RQ4 奇、权为2伽罗瓦表示在何种条件下可作为GL₂型阿贝尔簇的塔特模出现？
• RQ5 何种条件可确保权为2表示与一个希尔伯特自守特征形式相关联，从而来自阿贝尔簇？

主要发现

• 本文证明了对非必然潜在晶体的奇、权为2表示的模形式提升定理，扩展了Kisin的结果。
• 证明了若在F(ζp)上模p约化不可约，则任意奇、权为2表示均为潜在模形式，即在有限基变换后成为模形式。
• 证明了任意完全实域上奇、不可约残余表示均可被提升为最小有ramification的权为2 p进伽罗瓦表示。
• 当基域次数为奇数，或在某处v∤p上表示不可约时，该表示可作为GL₂型阿贝尔簇的塔特模出现。
• 证明了此类表示的L函数在Re(s) > 3/2时收敛，可延拓为ℂ上的亚纯函数，并满足预期的函数方程。
• 通过构造具有受控局部类型的形变，并利用同余关系确保最小性与模形式性，本文在许多情形下消除了额外假设的需要。