[论文解读] On two higher Chow groups of schemes over a finite field

Satoshi Kondo, Seidai Yasuda|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文计算了有限域上分离的有限型概形 $ X $ 的高阶 Chow 群 $ CH_{-1}(X,1) $ 和 $ CH_{-2}(X,3) $，证明当 $ X $ 不是概射时这些群为零，而当 $ X $ 是概射时则同构于 $ \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}(X) $ 上的相应群。该结果推广了 Akhtar 的定理，依赖于 motivic 同调、étale 上同调以及 Bloch-Kato-Milnor 同构，并在高余维数情形下使用 Parshin 的猜想进行技术性约化。

ABSTRACT

Given a separated scheme $X$ of finite type over a finite field, its higher Chow groups $CH_{-1}(X, 1)$ and $CH_{-2}(X, 3)$ are computed explicitly.

研究动机与目标

• 计算有限型概形 $ X $ 过有限域的高阶 Chow 群 $ CH_{-1}(X,1) $ 和 $ CH_{-2}(X,3) $。
• 将 Akhtar 关于光滑射影概形上 $ CH_{-1}(X,1) $ 的结果推广至任意 $ \mathbb{F}_q $ 上的连通有限型概形。
• 在适当条件下，建立 Borel-Moore motivic 同调群 $ H^\mathrm{BM}_i(X,\mathbb{Z}(j)) $ 在负度数下的消去性结果。
• 将 motivic Borel-Moore 同调与具有 $ \mathbb{Z}_\ell $-系数的 étale Borel-Moore 同调联系起来，证明在范围 $ i \leq -1 $，$ j \leq -1 $ 内存在同构。

提出的方法

• 使用 Bloch 的循环复形 $ z_j(X,\bullet) $ 定义 Borel-Moore motivic 同调群 $ H^\mathrm{BM}_i(X,\mathbb{Z}(j)) = H_{i-2j}(z_j(X,\bullet)) $。
• 通过 Rost-Voevodsky 的结果应用 Bloch-Kato-Milnor 同构，将 motivic 上同调与具有 $ \mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell $-系数的 étale 上同调联系起来。
• 利用 Hochschild-Serre 族谱序列和权重论证分析 étale 与 motivic 设置下的上同调消去性。
• 通过在维数上归纳并利用开子概形上的极限论证，证明在 Parshin 的猜想下，当 $ i \leq -2 $ 时，$ H^\mathrm{BM}_i(X,\mathbb{Z}(j)) $ 消去。
• 通过紧支 étale 上同调的对偶定义 étale Borel-Moore 同调：$ H^\mathrm{BM,et}_i(X,\mathbb{Z}_\ell(j)) = \mathrm{Hom}_{\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell}(H^{i+1}_{\mathrm{et},c}(X,\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell(-j)), \mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell) $。
• 依赖 Geisser-Levine 定理，将 motivic 上同调与具有 torsion 系数的 étale 上同调联系起来，尤其在 $ j \geq 2 $ 时。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有限型概形 $ X $ 过有限域，高阶 Chow 群 $ CH_{-1}(X,1) $ 的结构如何？
• RQ2 在何种条件下 $ CH_{-2}(X,3) $ 消去或同构于 $ \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}(X) $ 上的群？
• RQ3 在有限域上，Borel-Moore motivic 同调群在负度数下如何表现？
• RQ4 motivic 同调在负度数下与 étale 同调在多大程度上可关联？
• RQ5 在范围 $ i \leq -1 $，$ j \leq -1 $ 内，motivic 与 étale Borel-Moore 同调之间的同构是否成立？

主要发现

• 对于 $ \mathbb{F}_q $ 上的连通有限型概形 $ X $，当 $ X $ 是概射时，群 $ H^\mathrm{BM}_{-1}(X,\mathbb{Z}(j)) $ 同构于 $ H^\mathrm{BM}_{-1}(\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}(X),\mathbb{Z}(j)) $，否则为零，其中 $ j = -1, -2 $。
• 高阶 Chow 群 $ CH_{-1}(X,1) $ 和 $ CH_{-2}(X,3) $ 被显式计算：若 $ X $ 不是概射则为零；若 $ X $ 是概射且 $ j = -1 $，则同构于 $ \mathbb{Z} $；若 $ j = -2 $，则同构于 $ \mathrm{Pic}(X) $。
• 当 $ i \leq -2 $ 时，假设 Parshin 的猜想成立，则对所有 $ j \leq -1 $，Borel-Moore motivic 同调群 $ H^\mathrm{BM}_i(X,\mathbb{Z}(j)) $ 消去。
• 当 $ i \leq -2 $ 时，étale Borel-Moore 同调群 $ H^\mathrm{BM,et}_i(X,\mathbb{Z}_\ell(j)) $ 消去；当 $ i = -1 $ 时，若 $ X $ 是概射，则其到 $ \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}(X) $ 的推出是同构，否则为零。
• 在范围 $ i \leq -1 $，$ j \leq -1 $ 内，存在自然同构 $ H^\mathrm{BM}_i(X,\mathbb{Z}(j)) \otimes \mathbb{Z}_\ell \cong H^\mathrm{BM,et}_i(X,\mathbb{Z}_\ell(j)) $，必要时使用 Parshin 的猜想。
• 该证明避免使用 Bertini 型定理，且独立于 Akhtar 的工作，而是依赖于 motivic 上同调、étale 上同调以及 Bloch-Kato-Milnor 同构。