[论文解读] On two new operators in fractional calculus and application

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Fractional Differential Equations Solutions被引用 4

一句话总结

本文引入了一种新的分数阶积分算子——$ m\Psi $-分数阶积分，扩展了$ m\Psi $-Riemann-Liouville和$ m\Psi $-Hilfer导数。它建立了该算子的有界性，并将其应用于Mittag-Leffler函数和非线性$ \Psi $-分数阶Volterra积分方程，通过$ \beta $-距离函数证明了解的唯一性。

ABSTRACT

Motivated by the ${ m \Psi}$-Riemann-Liouville $({ m \Psi-RL})$ fractional derivative and by the ${ m \Psi}$-Hilfer $({ m \Psi-H})$ fractional derivative, we introduced a new fractional operator the so-called $ m\Psi-$fractional integral. We present some important results by means of theorems and in particular, that the $ m\Psi-$fractional integration operator is limited. In this sense, we discuss some examples, in particular, involving the Mittag-Leffler $({ m M-L})$ function, of paramount importance in the solution of population growth problem, as approached. On the other hand, we realize a brief discussion on the uniqueness of nonlinear $\Psi$-fractional Volterra integral equation (${ m VIE}$) using $\beta-$distance functions.

研究动机与目标

• 基于$ m\Psi $-Riemann-Liouville和$ m\Psi $-Hilfer导数，引入一种新的分数阶积分算子——$ m\Psi $-分数阶积分。
• 建立$ m\Psi $-分数阶积分的基本性质，特别是其有界性。
• 展示该算子在通过Mittag-Leffler函数求解人口增长问题中的应用。
• 利用$ \beta $-距离函数分析非线性$ \Psi $-分数阶Volterra积分方程解的唯一性。

提出的方法

• $ m\Psi $-分数阶积分被定义为在$ m\Psi $-框架下对现有分数阶导数的推广。
• 通过定理进行理论分析，证明$ m\Psi $-分数阶积分算子是有界的。
• Mittag-Leffler函数被用作关键示例，以说明该算子在建模人口增长中的应用。
• 在度量空间设定下，利用$ \beta $-距离函数研究非线性$ \Psi $-分数阶Volterra积分方程解的唯一性。
• 该框架将现有的分数阶微积分工具统一整合到一个$ m\Psi $-算子结构中。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在$ m\Psi $-微积分框架内定义一种新的分数阶积分算子？
• RQ2 所提出的$ m\Psi $-分数阶积分算子具有哪些有界性特征？
• RQ3 $ m\Psi $-分数阶积分如何应用于Mittag-Leffler函数以描述人口动力学？
• RQ4 能否利用$ \beta $-距离函数确保非线性$ \Psi $-分数阶Volterra积分方程解的唯一性？

主要发现

• $ m\Psi $-分数阶积分算子被证明是有界的，确保了其在应用中的稳定性和收敛性。
• 在新算子下，Mittag-Leffler函数成为人口增长模型中的核心解分量。
• 将$ m\Psi $-分数阶积分应用于Mittag-Leffler函数，展示了其在真实世界动力系统中的相关性。
• 通过不动点框架下的$ \beta $-距离函数，确立了非线性$ \Psi $-分数阶Volterra积分方程解的唯一性。