[论文解读] On Two Nonlinear Difference Equations

Julius Fergy T. Rabago, Jerico B. Bacani|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2015

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文研究了两个非线性Riccati型差分方程的动力学：$ x_{n+1} = \frac{q}{p + x_n^\nu} $ 和 $ y_{n+1} = \frac{q}{-p + y_n^\nu} $，其中 $ p, q $ 为正参数，$ \nu > 0 $ 为整数。当 $ \nu = 1 $ 时，解可用Horadam数表示；对于 $ \nu > 1 $，分析了稳定性、有界性、周期性及振荡行为，揭示了在 $ \nu \geq q = p + 1 $ 条件下出现素周期-2解的条件。结果推广了先前关于Riccati方程的研究，并拓展了特殊序列在非线性动力学中的作用。

ABSTRACT

The behavior of solutions of the following nonlinear difference equations \[ x_{n+1}=\displaystyle\frac{q}{p+x_n^ν} \quad ext{and} \quad y_{n+1}=\displaystyle\frac{q}{-p+y_n^ν}, \] where $p, q \in\mathbb{R}^+$ and $ν\in \mathbb{N}$ are studied. The solution form of these two equations when $ν=1$ are expressed in terms of Horadam numbers. Furthermore, the behavior of their solutions are investigated for all integer $ν> 0$ and several numerical examples are presented to illustrate the results exhibited. The present work generalizes those seen in [{\it Adv. Differ. Equ.}, {\bf 2013}:174 (2013), 7 pages].

研究动机与目标

• 通过将分析扩展至 $ \nu > 1 $ 的高阶非线性性，推广先前关于Riccati差分方程的研究结果。
• 当 $ \nu = 1 $ 时，利用Horadam序列表征方程 $ x_{n+1} = \frac{q}{p + x_n^\nu} $ 和 $ y_{n+1} = \frac{q}{-p + y_n^\nu} $ 的解形式。
• 研究任意 $ \nu \in \mathbb{N} $ 下解的长期行为——有界性、稳定性、周期性及振荡性。
• 确定素周期-2解出现的精确参数条件，尤其针对奇数和偶数 $ \nu $。
• 通过示例和图表进行数值验证，支持理论结果。

提出的方法

• 当 $ \nu = 1 $ 时，利用Horadam序列 $ W_n(a,b;p,q) $ 推导解的形式，通过Binet公式获得闭式表达。
• 对于 $ \nu > 1 $，通过在平衡点附近线性化来评估局部稳定性，利用线性化系统的特征方程。
• 稳定性条件推导为 $ \left| \frac{q\nu \bar{x}^{\nu-1}}{(-p + \bar{x}^\nu)^2} \right| < 1 $，其中 $ \bar{x} $ 为平衡点。
• 通过求解系统 $ x_{n+2} = x_n $ 确立素周期-2解的存在性，其显式形式取决于 $ \nu $ 的奇偶性。
• 针对不同的 $ (p, q, \nu, x_0) $ 进行数值模拟，以验证理论预测的稳定性和周期性。
• 通过分析递推函数 $ f(x) = \frac{q}{\pm p + x^\nu} $ 的导数的符号和大小，支持理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么 $ p, q, \nu $ 条件下，方程 $ x_{n+1} = \frac{q}{p + x_n^\nu} $ 拥有有界解？
• RQ2 方程 $ y_{n+1} = \frac{q}{-p + y_n^\nu} $ 在何种情况下存在素周期-2解？
• RQ3 当 $ \nu = 1 $ 时，两个方程的解如何表现？它们与Horadam序列有何关联？
• RQ4 这些非线性差分方程中平衡点的局部稳定性由什么决定？
• RQ5 $ \nu $ 的奇偶性如何影响周期解的存在性与性质？

主要发现

• 当 $ \nu = 1 $ 时，两个方程的解均可表示为Horadam数，且通过Binet公式导出闭式解。
• 当 $ \nu $ 为奇数且 $ \nu < q = p + 1 $ 时，方程 $ y_{n+1} = \frac{q}{-p + y_n^\nu} $ 的唯一负平衡点 $ \bar{x} = -1 $ 局部渐近稳定。
• 当 $ \nu $ 为奇数且 $ \nu \geq q = p + 1 $ 时，方程 $ y_{n+1} = \frac{q}{-p + y_n^\nu} $ 展现形式为 $ \left\{ \ldots, -\frac{q}{p}, -\frac{q}{p + (q/p)^\nu}, \ldots \right\} $ 的素周期-2解。
• 当 $ \nu $ 为偶数且 $ q = p - 1 $ 时，对所有偶数 $ \nu > 0 $，平衡点 $ \bar{x} = -1 $ 局部稳定。
• 当 $ \nu $ 为偶数时，若 $ \nu \geq N $（$ N > q = p + 1 $），则存在素周期-2解，其形式为 $ \left\{ \ldots, -\frac{q}{p}, \frac{q}{-p + (q/p)^\nu}, \ldots \right\} $。
• 数值模拟验证了理论预测，显示解依参数值和 $ \nu $ 的不同，收敛至平衡点或呈现周期行为。