[论文解读] On two-point boundary value problems for the Sturm-Liouville operator

A. S. Makin|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文研究了具有任意复值势函数和两点边界条件的Sturm-Liouville算子的谱性质，重点分析其根函数系的完备性与基性质。研究结果表明，对于某些类别的边界条件和势函数，根函数系在$L_2(0,\pi)$中是完备的，并给出了当特征值重数相对于谱参数模长增长过快时，该系无法构成基的条件。

ABSTRACT

In this paper, we study spectral problems for the Sturm-Liouville operator with arbitrary complexvalued potential q(x) and two-point boundary conditions. All types of mentioned boundary conditions are considered. We ivestigate in detail the completeness property and the basis property of the root function system.

研究动机与目标

• 分析具有任意复值势函数和两点边界条件的Sturm-Liouville算子根函数系的完备性与基性质。
• 将边界条件分类为非退化、强化正则、正则但非强化以及非正则类型，并研究各类条件下谱行为。
• 确定根函数系在$L_2(0,\pi)$中无法构成Schauder基的条件，特别是当特征值重数增长过快时。
• 构造显式势函数示例，使得根函数系包含任意高阶的关联函数，从而证明基性质的失效。

提出的方法

• 在$L_2(0,\pi)$上形式化Sturm-Liouville算子$L = u'' - q(x)u$，其定义域由两点边界条件$B_i(u) = 0$确定。
• 用基本解$c(x,\mu)$和$s(x,\mu)$表示特征行列式$\Delta(\mu)$，并通过边界条件矩阵的余子式$A_{ij}$表达。
• 通过$|\mu| \to \infty$时$\Delta(\mu)$的渐近分析，建立在非退化条件下的谱离散性及根子空间维数有界性。
• 在Paley-Wiener空间$PW_\pi^-$中构造具有预定零点重数的整函数，通过反谱理论实现所需的谱重数。
• 应用整函数理论中的定理（如定理9）以保证对应于所构造特征行列式的$L_2(0,\pi)$势函数的存在性。
• 分析特征值重数$m(\lambda_n)$相对于$|\mu_n|$的增长，利用定理15推导出基性质失效的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种势函数$q(x)$和边界条件条件下，Sturm-Liouville算子的根函数系在$L_2(0,\pi)$中保持完备？
• RQ2 在何种情况下，特征函数与关联函数系无法构成$L_2(0,\pi)$中的Schauder基？
• RQ3 能否构造出根函数系包含任意高阶关联函数的势函数？这对基性质有何影响？
• RQ4 特征值重数的增长速率与根函数系的基性质之间存在何种关系？
• RQ5 在$L_1(0,\pi)$中，根函数系构成或不构成基的势函数集合的稠密性如何？

主要发现

• 对于所有非退化两点边界条件，Sturm-Liouville问题的谱是可数的，且仅在无穷远处有一个极限点，所有根子空间均为有限维。
• 对于所有非退化边界条件，特征函数与关联函数系在$L_2(0,\pi)$中是完备且极小的。
• 存在势函数$q_1(x) \in L_2(0,\pi)$，使得对应问题的特征值重数$m(\lambda_n)$满足$c_1 \ln \mu_n \leq m(\lambda_n) \leq c_2 \ln \mu_n$，且存在任意高阶的关联函数。
• 对于势函数$q_2(x) \in L_2(0,\pi)$，其特征值$\tilde{\lambda}_n = \tilde{\mu}_n^2$的重数满足$c_1 \ln |\tilde{\mu}_n| \leq m(\tilde{\lambda}_n) \leq c_2 \ln |\tilde{\mu}_n|$，且$|\operatorname{Im} \tilde{\mu}_n| \to \infty$，同样存在任意高阶的关联函数。
• 根函数系包含任意高阶关联函数的势函数集合在$L_1(0,\pi)$中处处稠密，其补集亦然。
• 若$\lim_{n \to \infty} \frac{m(\lambda_n)}{\sqrt{|\mu_n|}} \neq 0$，则根据定理15，特征函数与关联函数系无法构成$L_2(0,\pi)$中的Schauder基。