[论文解读] On two problems concerning topological centers

Eli Glasner|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2007

Digital Image Processing Techniques参考文献 5被引用 14

一句话总结

本文解决了拓扑动力系统中关于拓扑中心的两个问题：首先，利用自由超滤子的不可测性，证明了在无限离散群 Γ 的 Čech-Stone 伴随 βΓ 的余集中，任意元素的左乘映射均不是 Borel 可测的；其次，对于整数 ℤ 的普遍极小紧化 D，证明了 D 的拓扑中心恰好等于其代数中心以及 ℤ 在 D 中的典范像。

ABSTRACT

Let G be an infinite discrete group and bG its Cech-Stone compactification. Using the well known fact that a free ultrafilter on an infinite set is nonmeasurable, we show that for each element p of the remainder bG G, left multiplication L_p:bG o bG is not Borel measurable. Next assume that G is abelian. Let D \subset \ell^\infty(G)$ denote the subalgebra of distal functions on G and let G^D denote the corresponding universal distal (right topological group) compactification of G. Our second result is that the topological center of G^D (i.e. the set of p in G^D for which L_p:G^D o G^D is a continuous map) is the same as the algebraic center and that for G=Z (the group of integers) this center coincides with the canonical image of G in G^D.

研究动机与目标

• 解决 Michael Megrelishvili 关于在 βΓ 的余集中哪些元素具有 Baire 第一类左乘映射的问题。
• 解决 Mahmoud Filali 关于对阿贝尔群 Γ 的普遍极小 Ellis 群 D(Γ) 的拓扑中心的识别问题。
• 建立当 Γ = ℤ 时，D 的拓扑中心与代数中心以及 ℤ 在 D 中的典范像完全一致。
• 通过测度论论证，为 βΓ 上左乘映射的非 Borel 可测性提供严格的证明。
• 弥补原始定理 2.1 证明中的漏洞，通过证明一个关于连续满射到康托集时 Borel 集的像的普遍可测性的引理。

提出的方法

• 利用众所周知的事实：在无限集上，自由超滤子在 {0,1}^Γ 上的乘积测度下是不可测的。
• 构造映射 φ = π₀∘ψ̂∘Lₚ 从 βΓ 映射到 {0,1}，其中 ψ̂ 是轨道映射在 βΓ 上的延拓，并分析其像为 1 的原像作为 Borel 集。
• 依赖于将 βΓ 识别为动力系统 (Ω, Γ) 的包络半群，其中 Ω = {0,1}^Γ。
• 通过对合 J(ω)(γ) = ω(γ⁻¹) 的对偶论证，将原像集与超滤子 p 关联起来。
• 使用测度论引理，证明若一个 Borel 集在连续满射到康托集的映射下的像为 Borel，则该像必为普遍可测，这与自由超滤子的不可测性矛盾。
• 在极小系统情形，利用 ℤ 的普遍极小紧化 D 的结构，证明只有 ℤ 本身中的元素才能诱导出连续的左乘映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些元素 p ∈ βΓ ∖ Γ，左乘映射 Lₚ: βΓ → βΓ 是 Borel 可测的？
• RQ2 对于阿贝尔离散群 Γ，普遍极小 Ellis 群 D(Γ) 的拓扑中心是什么？
• RQ3 ℤ 的 D(ℤ) 的拓扑中心是否与代数中心以及 ℤ 在 D 中的典范像一致？
• RQ4 尽管 βΓ 不是波兰空间，是否能严格证明当 p ∈ βΓ ∖ Γ 时，Lₚ 的非 Borel 可测性？
• RQ5 若预像是为饱和集，则连续满射到康托集的 Borel 集的像是否为普遍可测？

主要发现

• 对于任意无限离散群 Γ，任意 p ∈ βΓ ∖ Γ 的左乘映射均不是 Borel 可测的，因为其对应的超滤子在乘积测度下不可测。
• ℤ 的普遍极小紧化 D 的拓扑中心恰好是 ℤ 在 D 中的典范像，且该集合也与 D 的代数中心一致。
• 通过一个引理完成非 Borel 可测性的证明：若 Borel 集 B ⊂ X 满足 B = f⁻¹(f(B))，其中 f: X → C 是到康托集的连续满射，则 f(B) 是普遍可测的。
• 无限集上自由超滤子的不可测性意味着其在特征函数 χ 下的像在 {0,1}^Γ 中不是 Borel 集，因此 Lₚ 不可能是 Borel 可测的。
• 通过构造映射 φ = π₀∘ψ̂∘Lₚ 及其原像 Q，表明 Lₚ⁻¹({q ∈ βΓ : (qω₀)(e) = 1}) 不是 Borel 集，从而得出结论。
• 该结果可推广至阿贝尔群情形，此时 D(Γ) 的拓扑中心等于其代数中心，而对于 ℤ，它等于 ℤ 在 D 中的像。