[论文解读] On Two Results of Mixed Multiplicities

Dinh Van Le, Duong Quôc Việt|ArXiv.org|Jan 8, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 4被引用 14

一句话总结

本文证明了Trung与Verma（2007）关于混合重数的主要结果，是Viet（2000）早期定理的直接推论，特别是[Vi1]中的定理3.4。通过证明$(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m)$-正则序列是弱-(FC)-序列，作者们建立混合重数可被解释为商环中的Hilbert-Samuel重数，从而统一了通过(FC)-序列与正则序列两种方法对混合重数的构造。

ABSTRACT

This paper shows that the main result of Trung-Verma in 2007 [TV] only is an immediate consequence of an improvement version of [Theorem 3.4, Vi1] in 2000.

研究动机与目标

• 通过序列构造阐明混合重数与Hilbert-Samuel重数之间的关系。
• 证明Trung-Verma关于$(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m)$-正则序列的结果是Viet关于(FC)-序列早期工作的推论。
• 确立$(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m)$-正则序列为弱-(FC)-序列，从而连接两种不同的混合重数构造方法。
• 证明混合重数$e(J^{[k_0+1]}, I_1^{[k_1]}, \ldots, I_s^{[k_s]})$等于某些由此类序列生成的理想$Q$的商环$A/Q:I^\infty$中的Hilbert-Samuel重数。

提出的方法

• 作者通过理想包含关系、滤子正则性及维数约化，定义了(FC)-序列与弱-(FC)-序列。
• 他们利用Artin-Rees引理由(FC)-元素在相关分次模上诱导同构。
• 通过归纳法证明$\varepsilon$-正则元素满足弱-(FC)-元素的条件，归纳对象为理想幂次。
• 他们证明在$I^n$中，$x$的零化子在足够大的$n$时消失，从而得到$0:x \subseteq 0:I^\infty$，满足条件(FC2)。
• 他们利用同构$I_1^{n_1}\cdots I_s^{n_s} \cong xI_1^{n_1}\cdots I_s^{n_s}$将Bhattacharya函数与Hilbert-Samuel多项式联系起来。
• 他们应用[Vi1]中的定理3.4，将混合重数等同于商环$A/Q:I^\infty$中的Hilbert-Samuel重数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Trung-Verma关于通过$(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m)$-正则序列构造混合重数的结果，是否可由Viet更早的(FC)-序列框架推导得出？
• RQ2 $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m)$-正则序列是否满足弱-(FC)-序列的条件？
• RQ3 混合重数$e(J^{[k_0+1]}, I_1^{[k_1]}, \ldots, I_s^{[k_s]})$是否可被解释为商环$A/Q:I^\infty$中的Hilbert-Samuel重数？
• RQ4 在何种条件下，$\dim A/Q:I^\infty = k_0 + 1$ 能推出混合重数非零？

主要发现

• Trung与Verma（2007）的主要结果被证明是Viet（2000）定理3.4的直接推论，从而建立了基础性的统一。
• 对于$J, I_1, \ldots, I_s$，任意$(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m)$-正则序列都是关于$J, I_1, \ldots, I_s$的弱-(FC)-序列，证明了两种理论框架之间的关键联系。
• 若$x$是$I_1, \ldots, I_s$的$\varepsilon$-正则元素，则$x$满足(FC1)与(FC2)两个条件，因此是弱-(FC)-元素。
• 对于由$(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m)$-正则序列生成的任意理想$Q$，有$e(J^{[k_0+1]}, I_1^{[k_1]}, \ldots, I_s^{[k_s]}) \neq 0$当且仅当$\dim A/Q:I^\infty = k_0 + 1$，此时混合重数等于$e(J, A/Q:I^\infty)$。
• 条件$\dim A/Q:I^\infty = k_0 + 1$等价于该序列构成(FC)-序列，从而保证了混合重数的非零性。
• 本文确认：当$Q$是由$(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m)$-正则序列生成且满足$\dim A/Q:I^\infty = k_0 + 1$时，混合重数$e(J^{[k_0+1]}, I_1^{[k_1]}, \ldots, I_s^{[k_s]})$等于Hilbert-Samuel重数$e(J, A/Q:I^\infty)$。