[论文解读] On unified preserving properties of kinetic schemes

Zhaoli Guo, Jiequan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2019

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 57被引用 9

一句话总结

本文引入统一保持（UP）性质作为评估粒子格式在连续极限下渐近精度的新框架，超越了渐近保持（AP）概念。通过结合修正方程分析与Chapman-Enskog展开，表明UP阶数取决于粒子、流体动力学与数值尺度之间的相互作用，并证明DUGKS等格式可实现二阶UP，而CLR等格式因界面重构中碰撞处理不足而失败。

ABSTRACT

The kinetic theory provides a physical basis for developing multiscal methods for gas flows covering a wide range of flow regimes. A particular challenge for kinetic schemes is whether they can capture the correct hydrodynamic behaviors of the system in the continuum regime (i.e., as the Knudsen number $ε\ll 1$ ) without enforcing kinetic scale resolution. At the current stage, {the main approach to analyze such a property is the asymptotic preserving (AP) concept, which aims to show whether a kinetic scheme reduces to a solver for the hydrodynamic equations as $ε o 0$, such as the shock capturing scheme for the Euler equations. However, the detailed asymptotic properties of the kinetic scheme are indistinguishable when $ε$ is small but finite under the AP framework}. In order to distinguish different characteristics of kinetic schemes, in this paper we introduce the concept of unified preserving (UP) aiming at assessing asmyptotic orders of a kinetic scheme by employing the modified equation approach and Chapman-Enskon analysis. It is shown that the UP properties of a kinetic scheme generally depend on the spatial/temporal accuracy and closely on the inter-connections among the three scales (kinetic scale, numerical scale, and hydrodynamic scale) and their corresponding coupled dynamics. Specifically, the numerical resolution and specific discretization of particle transport and collision determine the flow physics of the scheme in different regimes, especially in the near continuum limit. As two examples, the UP methodology is applied to analyze the discrete unified gas-kinetic scheme and a second-order implicit-explicit Runge-Kutta scheme in their asymptotic behaviors in the continuum limit.

研究动机与目标

• 为解决渐近保持（AP）框架在Knudsen数ε较小但有限时，难以区分粒子格式渐近行为细微差异的局限性。
• 开发一种更精细的分析工具，以捕捉粒子格式在流体动力学区域中渐近精度的阶数。
• 阐明数值分辨率及粒子输运与碰撞的离散化如何影响格式在近连续极限下恢复正确流体动力学物理行为的能力。
• 建立一种系统化方法，用于评估粒子格式是否能在标准数值分辨率下准确捕捉Navier-Stokes行为，而无需依赖粒子尺度分辨率。

提出的方法

• 提出统一保持（UP）性质作为AP概念的改进，聚焦于渐近阶数而非仅渐近一致性。
• 应用修正方程方法推导离散粒子格式中的主导截断误差，识别影响流体恢复的项。
• 利用二阶Chapman-Enskog展开提取流体动理量，并评估恢复Euler方程与Navier-Stokes方程的精度阶数。
• 分析碰撞项在单元界面分布函数重构中的作用，表明忽略碰撞效应将导致高阶精度的丧失。
• 通过推导其修正方程并评估在不同网格与时间步长分辨率下的UP阶数，对比两种格式——DUGKS与一阶CLR格式。
• 引入尺度假设Δt = O(ε^α)与Δx = O(ε^β)，其中0.5 < α, β < 1，以研究在连续极限下的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅靠AP框架能否区分连续区中具有不同渐近阶数的粒子格式？
• RQ2 当Knudsen数ε较小但有限时，是什么决定了粒子格式的渐近阶数？
• RQ3 粒子、流体动力学与数值尺度之间的相互关联如何影响流体方程的恢复？
• RQ4 为何某些格式即使在中等分辨率下仍无法捕捉Navier-Stokes解，碰撞处理在界面重构中的作用是什么？
• RQ5 在何种条件下，格式可在流体极限下实现二阶统一保持（UP）精度？

主要发现

• 统一保持（UP）性质相较于AP概念提供了更精细的渐近精度表征，能够区分收敛至流体方程时具有不同收敛阶数的格式。
• DUGKS格式实现二阶UP，意味着在标准数值分辨率（Δt = O(ε^α)，Δx = O(ε^β)，其中0.5 < α, β < 1）下可正确恢复Navier-Stokes行为。
• 一阶CLR格式因界面重构中缺失碰撞效应，导致仅具有一阶UP，无法捕捉Navier-Stokes解。
• 为实现二阶UP，时间步长必须解析粒子时间尺度（Δt = o(ε)），这意味着若无粒子尺度分辨率，格式无法真正实现多尺度。
• 分析证实，为实现更高阶渐近精度，必须在单元界面分布函数的重构中包含碰撞效应。
• 修正方程分析表明，CLR格式中来自时间离散化的项O(ε^{1+α})会阻碍第二阶Chapman-Enskog系数f_h^{(2)}的确定，导致二阶精度的丧失。