[论文解读] On uniform exponential ergodicity of Markovian multiclass many-server queues in the Halfin-Whitt regime

Ari Arapostathis, Hassan Hmedi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2018

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 32被引用 5

一句话总结

该论文通过统一的李雅普诺夫函数方法，建立了在 Halfin-Whitt 调度下多类多服务器队列的统一指数遍历性。证明了在正备用容量及一般工作保留型马尔可夫调度策略下，扩散尺度的队列过程以指数速率收敛到平稳分布，其不变测度的尾部表现出统一的指数衰减或次高斯尾部，具体取决于流失率。

ABSTRACT

We study ergodic properties of Markovian multiclass many-server queues which are uniform over scheduling policies, as well as the size n of the system. The system is heavily loaded in the Halfin-Whitt regime, and the scheduling policies are work-conserving and preemptive. We provide a unified approach via a Lyapunov function method that establishes Foster-Lyapunov equations for both the limiting diffusion and the prelimit diffusion-scaled queueing processes simultaneously. We first study the limiting controlled diffusion, and we show that if the spare capacity (safety staffing) parameter is positive, then the diffusion is exponentially ergodic uniformly over all stationary Markov controls, and the invariant probability measures have uniform exponential tails. This result is sharp, since when there is no abandonment and the spare capacity parameter is negative, then the controlled diffusion is transient under any Markov control. In addition, we show that if all the abandonment rates are positive, the invariant probability measures have sub-Gaussian tails, regardless whether the spare capacity parameter is positive or negative. Using the above results, we proceed to establish the corresponding ergodic properties for the diffusion-scaled queueing processes. In addition to providing a simpler proof of the results in Gamarnik and Stolyar [Queueing Syst (2012) 71:25-51], we extend these results to the multiclass models with renewal arrival processes, albeit under the assumption that the mean residual life functions are bounded. For the Markovian model with Poisson arrivals, we obtain stronger results and show that the convergence to the stationary distribution is at an exponential rate uniformly over all work-conserving stationary Markov scheduling policies.

研究动机与目标

• 在 Halfin-Whitt 调度下，为所有工作保留型马尔可夫调度策略建立扩散尺度多类多服务器队列的统一指数遍历性。
• 解决关于预极限和极限扩散过程的不变测度收敛速率与尾部行为的开放问题。
• 开发一个统一的 Foster-Lyapunov 框架，可同时适用于预极限队列过程及其扩散极限。
• 分析流失率和备用容量对平稳分布尾部衰减的影响。
• 将先前关于泊松到达下指数遍历性的结果扩展至均值残差寿命有界的更新到达过程，并在泊松到达情况下进一步强化结果。

提出的方法

• 构建一个加权、倾斜的李雅普诺夫函数，结合工作量与空闲过程，并引入平滑截断以处理分段线性漂移。
• 同时将 Foster-Lyapunov 准则应用于极限受控扩散和预极限扩散尺度过程。
• 使用具有精心选择权重和倾斜的共同二次型李雅普诺夫函数，以捕捉正负半轴上的动态行为。
• 为扩散尺度过程的生成元推导 Foster-Lyapunov 方程，表明漂移与状态的 L1-范数成比例且为负。
• 利用二阶导数的界和漂移不等式，确保在所有调度策略下实现统一的指数遍历性。
• 利用分段 Ornstein–Uhlenbeck 过程和具有分段线性漂移的 SDE 的结果，验证该框架的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Halfin-Whitt 调度下，极限受控扩散是否对所有平稳马尔可夫控制均呈指数遍历性？
• RQ2 当流失率为正或为零时，不变测度的尾部渐近行为有何不同？
• RQ3 能否使用单一的李雅普诺夫函数框架，同时建立预极限和极限扩散过程的统一指数遍历性？
• RQ4 在一般工作保留策略下，扩散尺度队列过程收敛到平稳分布的速率如何？
• RQ5 当备用容量参数为正或负时，不变分布的尾部特性如何变化？

主要发现

• 当备用容量参数为正时，极限受控扩散对所有平稳马尔可夫控制均呈统一的指数遍历性，其不变测度具有统一的指数尾部。
• 若所有流失率均为正，极限扩散的不变测度即使在备用容量参数为负时也具有次高斯尾部。
• 对于泊松到达，扩散尺度队列过程在所有工作保留型平稳马尔可夫调度策略下，收敛到平稳分布的速率是统一的指数速率。
• 在所有类别中均存在流失率的情况下，对所有 η > 0 及充分大的 n，函数 $\exp(\eta \|\hat{x}^{n}\|_1)$ 在平稳分布下可积。
• 当无流失率且备用容量参数为负时，系统在任何马尔可夫调度策略下均为瞬态，表明正备用容量条件的紧致性。
• 所提出的李雅普诺夫函数构造方法可统一处理预极限和极限过程，提供了比先前方法更简洁、更通用的证明。