[论文解读] On uniformly recurrent subgroups of finitely generated groups

Gábor Elek|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文证明了任意有限生成群的每个均匀重复子群（URS）均可作为极小动力系统的稳定性系统出现，从而解决了Glasner和Weiss提出的一个问题。通过基于Lovász局部引理的着色技术，作者进一步证明了有限生成的Sofic群可拥有具有不变概率测度的自由Bernoulli子移位，将已知结果扩展至非剩余有限或非阿贝尔群之外。

ABSTRACT

We prove that if $G$ is a finitely generated group and $Z$ is a uniformly recurrent subgroup of $G$ then there exists a minimal system $(X,G)$ with $Z$ as its stability system. This answers a query of Glasner and Weiss \cite{GW} in the case of finitely generated groups. Using the same method (introduced by Alon, Grytczuk, Haluszczak and Riordan \cite{AGHR}) we will prove that finitely generated sofic groups have free Bernoulli-subshifts admitting an invariant probability measure.

研究动机与目标

• 解决Glasner和Weiss提出的问题：任意有限生成群的每个均匀重复子群（URS）是否均可作为极小动力系统的稳定性系统出现？
• 将具有不变概率测度的自由Bernoulli子移位的存在性，从剩余有限群或阿贝尔群扩展至有限生成的Sofic群。
• 应用Alon等人基于Lovász局部引理的着色方法，构造在着色Schreier图上的极小作用。
• 通过非重复着色与不变测度的弱收敛性，证明Sofic群支持自由Bernoulli子移位。

提出的方法

• 为一个具有固定对称生成集的有限生成群构造根节点、边标记和顶点着色的Schreier图空间。
• 利用Lovász局部引理，在Sofic逼近序列中的有限Schreier图上生成非重复的顶点着色。
• 通过在有限图的所有顶点上取平均，定义在着色Schreier图空间上的概率测度序列。
• 应用弱紧致性，从无限着色Schreier图空间中提取一个弱极限测度，该测度在群作用下不变。
• 证明该极限测度支撑于商群Cayley图的非重复着色上，从而确保相关作用的自由性。
• 从非重复着色空间到Bernoulli移位空间的连续、等变映射构造，得到具有不变测度的自由Bernoulli子移位。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意有限生成群的每个均匀重复子群（URS）是否均可作为极小动力系统的稳定性系统出现？
• RQ2 能否为有限生成的Sofic群构造具有不变概率测度的自由Bernoulli子移位？
• RQ3 基于Lovász局部引理的技术能否被调整以在着色Schreier图上生成URS实现所需的极小作用？
• RQ4 Sofic群（超越剩余有限群或阿贝尔群）是否具有具有不变测度的自由Bernoulli子移位？
• RQ5 通过顶点平均测度的弱收敛构造的极限测度是否支撑于无限Schreier图中的非重复着色？

主要发现

• 对任意有限生成群及其任意均匀重复子群（URS）Z，存在一个极小系统（X, Γ, α），其稳定性系统恰好为Z。
• 该构造利用Sofic逼近中有限Schreier图的非重复着色，确保极限测度支撑于非重复着色。
• 着色Schreier图空间上的极限测度在群作用下不变，且集中于非重复着色，从而保证相关作用在Bernoulli移位上的自由性。
• 从着色映射到Bernoulli移位空间K^Γ的像为闭的、Γ-不变的子集，构成一个自由Bernoulli子移位。
• 通过着色映射将极限测度前推至自由Bernoulli子移位，得到Γ-不变的概率测度，从而确认其在有限生成Sofic群中存在。
• 该结果将已知可拥有具有不变测度的自由Bernoulli子移位的群类，从剩余有限群和阿贝尔群扩展至所有有限生成Sofic群。