[论文解读] On unipotent and nilpotent pieces for classical groups

Ting Xue|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文证明了经典群的单根与幂零部分——通过Lusztig的几何与表示论框架定义——与基于单根类与幂零轨道的闭包关系定义的组合MS部分完全一致。本文给出了从正特征的单根/幂零类到特征零对应类的映射的闭式公式，证明纤维恰好为单根或幂零部分，并表明这些部分中$ extbf{F}_{p^s}$-有理点的数量是关于$p^s$的多项式，且与$p$和$s$无关，从而证实了经典群的关键猜想。

ABSTRACT

We show that the definition of unipotent (resp. nilpotent) pieces for classical groups given by Lusztig (resp. Lusztig and the author) coincides with the combinatorial definition using closure relations on unipotent classes (resp. nilpotent orbits). Moreover we give a closed formula for a map from the set of unipotent classes (resp. nilpotent orbits) in characteristic 2 to the set of unipotent classes in characteristic 0 such that the fibers are the unipotent (resp. nilpotent) pieces.

研究动机与目标

• 建立Lusztig基于几何定义的单根与幂零部分，与经典群中基于单根类与幂零轨道的闭包关系定义的组合MS部分之间的等价性。
• 构造从正特征的单根类（相应地，幂零轨道）到特征零类的映射的闭式公式，使得纤维恰好对应于单根（相应地，幂零）部分。
• 证明每个单根或幂零部分中$ extbf{F}_{p^s}$-有理点的数量是关于$p^s$的多项式，且与$p$和$s$无关，从而证实[5]中的关键猜想。
• 将特殊部分理论推广至正特征，并证明其点数仅依赖于Weyl群，从而验证[5]中陈述6.9(a)对经典群的成立。

提出的方法

• 使用分拆及分拆对的组合序来定义单根类与幂零轨道上的闭包关系，从而形成MS部分。
• 应用Springer对应关系，将单根类与幂零轨道与Weyl群的不可约特征标对应，实现统一参数化。
• 通过Weyl群特征标对应，定义从正特征单根/幂零类到特征零类的提升映射$ ilde{ heta}$。
• 引入映射$ ilde{ heta}$，使得其在给定特征零类上的纤维恰好为正特征下的单根或幂零部分。
• 利用特征2下的特殊同构$SO(2n+1) o Sp(2n)$，关联正交群与辛群中的单根类，实现统一处理。
• 应用分拆对上的闭包序与支配序条件，验证正特征下的特殊部分是单根/幂零部分的并集。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lusztig基于几何定义的经典群单根部分是否与基于单根类闭包关系的组合MS部分一致？
• RQ2 是否存在从正特征单根类到特征零单根类的映射的闭式公式，使得纤维恰好为单根部分？
• RQ3 每个单根或幂零部分中$ extbf{F}_{p^s}$-有理点的数量是否仅依赖于$p^s$，而不依赖于$p$或$s$，且是否为$p^s$的多项式？
• RQ4 正特征下的特殊部分（通过Weyl群特征标定义）是否为单根或幂零部分的并集，且其点数是否仅依赖于Weyl群？
• RQ5 特殊部分的多项式点数性质能否推广至正特征，且是否与特征零下的Weyl群依赖性一致？

主要发现

• Lusztig定义的单根部分与经典群中基于单根类闭包关系定义的MS部分一致。
• Lusztig与作者定义的幂零部分与基于幂零轨道闭包关系定义的MS部分一致。
• 构造了从特征2下单根类到特征零单根类的映射的闭式公式，其纤维恰好为单根部分。
• 每个单根或幂零部分中$ extbf{F}_{p^s}$-有理点的数量是关于$p^s$的多项式，且与$p$和$s$无关，从而证实了[5]中陈述6.8(a)对经典群的成立。
• 正特征下的特殊部分是单根或幂零部分的并集，其点数为关于$p^s$的多项式，且仅依赖于Weyl群，从而证实了[5]中陈述6.9(a)。
• 特征2下的特殊同构$SO(2n+1) o Sp(2n)$使得正交群与辛群中的单根类得以识别，从而实现了点数计算的统一处理。