[论文解读] On unipotent quotients and some A^1-contractible smooth schemes

Aravind Asok, Brent Doran|ArXiv.org|Mar 5, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 8

一句话总结

本文確立了在何種條件下，擬仿射概形關於單群作用的商是仿射的判據，利用穩定性條件與上同調消去。它構造了無限多組光滑、非同構、$\bbA^1$-收縮、嚴格擬仿射的代數簇，維數 $n \geq 4$，其顯式方程由 $\bbG_a$-與 $SL_2$-不變量導出，在維數 6 及以上首次提供此類例子，且在維數 4 和 5 中存在無限多組。

ABSTRACT

We study quotients of quasi-affine schemes by unipotent groups over fields of characteristic 0. To do this, we introduce a notion of stability which allows us to characterize exactly when a principal bundle quotient exists and, together with a cohomological vanishing criterion, to characterize whether or not the resulting quasi-affine quotient scheme is affine. We completely analyze the case of G_a-invariant hypersurfaces in a linear G_a-representation W; here the above characterizations admit simple geometric and algebraic interpretations. As an application, we produce arbitrary dimensional families of non-isomorphic smooth quasi-affine but not affine n-dimensional varieties (n \geq 6) that are contractible in the sense of A^1-homotopy theory. Indeed, existence follows without any computation; yet explicit defining equations for the varieties depend only on knowing some linear G_a- and SL_2- invariants, which, for a sufficiently large class, we provide. Similarly, we produce infinitely many non-isomorphic examples in dimensions 4 and 5. Over C, the analytic spaces underlying these varieties are non-isomorphic, non-Stein, topologically contractible and often diffeomorphic to C^n.

研究动机与目标

• 確立在特徵 0 條件下，擬仿射概形關於單群作用的商為仿射的條件。
• 發展一種穩定性條件，以確保單群作用下主纖化叢商的存在性。
• 利用 $\bbG_a$-與 $SL_2$-作用的不變量，提供光滑、非同構、$bA^1$-收縮但非仿射代數簇的顯式構造。
• 證明此類代數簇在每個維數 $n \geq 4$ 中均存在，且在維數 4 和 5 中存在無限多組非同構例子，而在維數 $n \geq 6$ 中存在任意維數的族。

提出的方法

• 引入單群作用於擬仿射概形上的穩定性概念，以保證主纖化叢商的存在。
• 應用 van Est 譜序列，將 $U$-上同調與 ${\mathfrak{u}}$-上同調關聯，從而建立商為仿射的上同調準則。
• 使用阿提亞堆棧商 $[X/U]$，並證明 $U$-扭子叢在堆上的平凡性意味著商是仿射概形。
• 利用 Grothendieck 譜序列，將 $H^1(U, \Gamma(X, \cO_X))$ 與 $H^1(\frak{u}, \Gamma(X, \cO_X))$ 關聯，連結群上同調與李代數上同調。
• 運用下降理論與表示性，證明堆商的表示性截面存在意味著商是仿射概形。
• 利用線性 $\bbG_a$-表示中的 $\bbG_a$-不變超曲面構造顯式例子，其定義方程由 $\bbG_a$-與 $SL_2$-不變量決定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，擬仿射概形關於單群作用的商是仿射的？
• RQ2 能否構造光滑、非同構、$bA^1$-收縮但非仿射的代數簇？若可，其存在於哪些維數？
• RQ3 如何從單群與 $SL_2$-作用的不變量中，推導出此類代數簇的顯式定義方程？
• RQ4 上同調消去——特別是 $H^1(U, \Gamma(X, \cO_X)) = 0$——在確保商為仿射中扮演何種角色？
• RQ5 此類構造在多大程度上可推廣至任意維數？能否產生無限多組非同構例子？

主要发现

• 本文確立了一個上同調準則：$H^1(U, \Gamma(X, \cO_X)) = 0$ 若且唯若 $H^1(\frak{u}, \Gamma(X, \cO_X)) = 0$，當商存在時，此條件為商 $X/U$ 是仿射的必要且充分條件。
• 對於線性 $\bbG_a$-表示中的 $\bbG_a$-不變超曲面，其商是仿射的充分必要條件是李代數 $\frak{u}$ 以 $\Gamma(X, \cO_X)$ 為係數的上同調首階為零。
• 作者構造了所有 $n \geq 6$ 維度下，無限多組非同構、光滑、$bA^1$-收縮、嚴格擬仿射 $n$-維代數簇的任意維數族，其顯式方程由 $\bbG_a$-與 $SL_2$-不變量導出。
• 在維數 4 和 5 中構造了無限多組非同構例子，且在 $\bbC$ 上，其底層解析空間為非同構、非 Stein、拓撲收縮，且通常微分同胚於 $\bbC^n$。
• 堆商 $[X/U]$ 具有表示性截面，若且唯若 $H^1([X/U], \cO_{[X/U]}) = 0$，此條件意味著商是仿射概形。
• $H^1(\frak{u}, k[X])$ 是作用的一個不變量，因其同構於 $H^1([X/U], U)$，提供了一個分類此類作用的上同調不變量。