[论文解读] On Unique Additive Representations of Positive Integers and Some Close Problems

Vladimir Shevelev|ArXiv.org|Nov 3, 2008

semigroups and automata theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了 Moser 序列 $\{m_r(n)\}$ 的显式公式和递推关系，这些序列能唯一地将每个非负整数表示为 $n = m_r(k) + r m_r(l)$，并研究了相关序列 $s_n^{(r)} = r m_r(n-1) + 1$，展示了其唯一的加法表示性质以及与 Josephus-Gro"er 问题的联系。主要贡献在于这些序列的闭式分解和递推关系，其在加法数论和组合数学中有应用。

ABSTRACT

Let, for r>=2, (m_r(n)),n>=0, be Moser sequence such that every nonnegative integer is the unique sum of the form s_k+rs_l. In this article we give an explicit decomposition formulas of such form and an unexpectedly simple recursion relation for Moser's numbers. We also study interesting properties of the sequence (rm_r(n-1)+1),n>=1, and its connection with some important problems. In particular, in the case of r=2 this sequence is surprisingly connected with the numbers solving the combinatorial Josephus-Groer problem. We pose also some open questions.

研究动机与目标

• 推导 Moser 序列 $\{m_r(n)\}$ 的显式分解公式，使其能唯一地将整数表示为 $n = m_r(k) + r m_r(l)$。
• 建立 $m_r(n)$ 的简单递推关系，推广已知的 $r=2$ 情形下的 Moser-de Bruijn 序列。
• 研究序列 $s_n^{(r)} = r m_r(n-1) + 1$，证明当 $n \equiv 1 \pmod{r}$ 且 $n \geq r+1$ 时，其具有唯一的加法表示性质，即 $n = s_k^{(r)} + r s_l^{(r)}$。
• 探索 $s_n^{(2)}$ 与 Josephus-Gro"er 问题的联系，揭示其组合意义。
• 考察相关序列的算术性质与分布特性，包括素性与合数密度，并提出关于加法表示的开放问题。

提出的方法

• 使用生成函数与函数方程：$f(x)f(x^r) = \frac{1}{1-x}$ 定义 $m_r(n)$，$f(x)f(x^r) = \frac{x^{r+1}}{1-x^r}$ 定义 $s_n^{(r)}$，在具有非负泰勒系数的解析函数空间中唯一确定序列。
• 推导显式公式：$m_r(n) = \sum_{i \geq 0} \nu_i r^{2i}$，其中 $\nu_i$ 是 $n$ 的 $r$ 进制数位；$s_n^{(r)} = 1 + \sum_{i \geq 0} \nu_i r^{2i+1}$，其中 $\nu_i$ 是 $n-1$ 的 $r$ 进制数位。
• 建立丢番图方程的唯一解：$m_r(k) + r m_r(l) = n$ 和 $s_k^{(r)} + r s_l^{(r)} = N$，其中 $k,l$ 分别由 $n$ 和 $N-1$ 的 $r$ 进制数位模式重构。
• 利用生成函数恒等式构造算术级数 $3a + 2bn$，使其能唯一表示为 $s_k^{(2)}(a,b) + 2 s_l^{(2)}(a,b)$。
• 通过唯一分解的坐标 $k,l$，在整数 $N \equiv 1 \pmod{r}$，$r+1 \leq N \leq r^{2t+1}+1$ 与格点 $[1,r^t] \times [1,r^t]$ 之间定义一一对应映射。
• 利用基于数位的重构与模运算（例如 $4^k \equiv 1 \pmod{3}$）证明序列 $a^{(c)}(n) = 2m_2(n) + c$ 中存在无穷多个合数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Moser 序列 $m_r(n)$ 的显式公式与递推关系是什么，能确保其加法表示 $n = m_r(k) + r m_r(l)$ 的唯一性？
• RQ2 序列 $s_n^{(r)} = r m_r(n-1) + 1$ 如何与 Josephus-Gro"er 问题相关联，特别是当 $r=2$ 时？
• RQ3 是否对每个奇数 $c$，序列 $a^{(c)}(n) = 2m_2(n) + c$ 中都存在无穷多个合数？这对基于素数的加法表示意味着什么？
• RQ4 允许所有偶数实现唯一二进制加法表示的最小序列 $\{t_n\}$ 是什么？其密度是多少？
• RQ5 对格点 $[1,r^t] \times [1,r^t]$ 的何种点排列能最小化或最大化欧几里得旅行商路径？

主要发现

• 序列 $m_r(n)$ 具有显式公式：$m_r(n) = \sum_{i \geq 0} \nu_i r^{2i}$，其中 $\nu_i$ 是 $n$ 的 $r$ 进制数位，从而可实现唯一分解 $n = m_r(k) + r m_r(l)$，其中 $k,l$ 由 $n$ 的偶数位与奇数位数位唯一确定。
• 序列 $s_n^{(r)} = r m_r(n-1) + 1$ 满足 $s_n^{(r)} = 1 + \sum_{i \geq 0} \nu_i r^{2i+1}$，其中 $\nu_i$ 是 $n-1$ 的 $r$ 进制数位，且每个满足 $N \equiv 1 \pmod{r}$ 且 $N \geq r+1$ 的整数 $N$ 均有唯一表示 $N = s_k^{(r)} + r s_l^{(r)}$。
• 当 $r=2$ 时，序列 $s_n^{(2)}$ 与 Josephus-Gro"er 问题直接关联，其项与 OEIS 中的 A088442 和 A090569 序列一致。
• 对任意奇数 $c$，序列 $a^{(c)}(n) = 2m_2(n) + c$ 中包含无穷多个合数，该结论通过在四进制下对数位模式进行模运算得以证明。
• 序列 $\{t_n\}$ 由合并 $\{s_n(1,1)\}$ 与 $\{s_n(1,2)\}$ 并对 1 进行双重重复构成，可使每个偶数 $N$ 表示为 $N = t_k + t_l$，并猜想其为最小序列，即不存在更稀疏的序列能唯一表示所有偶数。
• 通过分解坐标从整数 $N \equiv 1 \pmod{r}$，$r+1 \leq N \leq r^{2t+1}+1$ 到格点 $[1,r^t] \times [1,r^t]$ 的映射是双射，共有 $r^{2t}$ 个此类整数。