[论文解读] On Uniqueness And Existence of Conformally Compact Einstein Metrics with Homogeneous Conformal Infinity

Gang Li|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文建立了在 $(2k+1)$-球面、其上配备 $ΣΥ(k+1)$-不变度量作为共形无穷远的非正曲率共形紧致爱因斯坦（CCE）度量的唯一性与存在性。通过连续性方法与在测地坐标下将爱因斯坦方程约化为退化常微分方程边值问题，证明当共形无穷远接近标准度量时，此类 CCE 度量在等距同构意义下唯一，从而将先前在 $S^3$ 和 $S^{2k+1}$ 上的结果推广至更高维情形。

ABSTRACT

In this paper we show that for a generalized Berger metric $\hat{g}$ on $S^3$ close to the round metric, the conformally compact Einstein (CCE) manifold $(M, g)$ with $(S^3, [\hat{g}])$ as its conformal infinity is unique up to isometries. For the high-dimensional case, we show that if $\hat{g}$ is an $ ext{SU}(k+1)$-invariant metric on $S^{2k+1}$ for $k\geq1$, the non-positively curved CCE metric on the $(2k+1)$-ball $B_1(0)$ with $(S^{2k+1}, [\hat{g}])$ as its conformal infinity is unique up to isometries. In particular, since in \cite{LiQingShi}, we proved that if the Yamabe constant of the conformal infinity $Y(S^{2k+1}, [\hat{g}])$ is close to that of the round sphere then any CCE manifold filled in must be negatively curved and simply connected, therefore if $\hat{g}$ is an $ ext{SU}(k+1)$-invariant metric on $S^{2k+1}$ which is close to the round metric, the CCE metric filled in is unique up to isometries. Using the continuity method, we prove an existence result of the non-positively curved CCE metric with prescribed conformal infinity $(S^{2k+1}, [\hat{g}])$ when the metric $\hat{g}$ is $ ext{SU}(k+1)$-invariant.

研究动机与目标

• 建立在 $(2k+1)$-球面上，给定 $Σ^{2k+1}$ 共形无穷远的非正曲率共形紧致爱因斯坦（CCE）度量的唯一性。
• 证明当共形无穷远为 $ΣΥ(k+1)$-不变且接近标准度量时，此类 CCE 度量的存在性。
• 将先前关于 $S^3$ 上 Berger 度量的唯一性结果推广至更高维球面 $S^{2k+1}$ 上 $ΣΥ(k+1)$-不变度量的情形。
• 证明当 Yamabe 常数接近标准球面的值时，任意 CCE 填充自动为单连通且非正曲率，从而推出唯一性。
• 利用连续性方法构造一个一维参数族 CCE 度量，其收敛于极限度量，通过紧致性与 $C^{k,\alpha}$ 拓扑中的收敛性证明存在性。

提出的方法

• 在从质心到边界的一条测地线的测地坐标下，将爱因斯坦方程约化为三个二阶退化椭圆型常微分方程组。
• 使用测地定义函数 $x = e^{-r}$，其中 $r$ 为到质心的距离，将度量变换为适合在边界与质心附近分析的形式。
• 通过考虑一维参数族度量 $g^\lambda$，其中 $\lambda_j \to \lambda_0$，从 $\lambda=1$（对应标准度量）出发，应用连续性方法。
• 通过自然测地坐标与指数映射施加规范固定条件，以确保序列 $g^{\lambda_j}$ 的一致收敛。
• 在 $[0,1]$ 上建立 ODE 解 $y_i^j(x)$ 及其导数的统一 $C^{2,\alpha}$ 与 $C^k$ 估计，借助 Arzelà–Ascoli 定理与椭圆正则性理论实现收敛。
• 利用序列 $g^{\lambda_j}$ 在带点 Cheeger–Gromov 拓扑下的紧致性与极限度量的光滑性，得出在 $\lambda_0$ 处存在解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $(2k+1)$-球面、其上配备 $\u03a3^{2k+1}$ 与 $\u03a3Υ(k+1)$-不变共形无穷远的条件下，CCE 度量是否在等距同构意义下唯一？
• RQ2 能否通过连续性方法证明存在一个非正曲率 CCE 度量，其共形无穷远具有此类性质？
• RQ3 该唯一性结果是否可从 $S^3$ 上 Berger 度量的情形推广至更高维球面 $S^{2k+1}$ 上 $\u03a3Υ(k+1)$-不变度量的情形？
• RQ4 Yamabe 常数在确保 CCE 填充为单连通且非正曲率方面起到何种作用？
• RQ5 如何通过径向常微分方程形式化，控制爱因斯坦方程在共形无穷远与质心附近的性质？

主要发现

• 对于接近标准度量的广义 Berger 度量 $\hat{g}$ 的 $S^3$，在 4-球面上的 CCE 度量在等距同构意义下唯一，与 Pedersen 及 Graham–Lee 的构造一致。
• 对于接近标准度量的 $\u03a3Υ(k+1)$-不变度量 $\hat{g}$ 的 $S^{2k+1}$，在 $(2k+1)$-球面上的非正曲率 CCE 度量在等距同构意义下唯一。
• 连续性方法成功构造出具有 $\u03a3^{2k+1}$ 与 $\u03a3Υ(k+1)$-不变共形无穷远的非正曲率 CCE 度量，从 $\lambda=1$ 出发并延拓至 $\lambda_0$。
• 度量序列 $g^{\lambda_j}$ 在 $C^{k,\alpha}$ 拓扑下收敛于极限度量 $g^{\lambda_0}$，该极限度量为光滑、非正曲率的 CCE 度量，且具有相同的共形无穷远。
• 在 $[0,1]$ 上对 ODE 解 $y_i^j(x)$ 的导数施加统一估计，确保紧致性并可提取收敛子列，从而证明存在性。
• 极限度量 $g^{\lambda_0}$ 在 $x=0$ 处具有光滑展开式，满足爱因斯坦方程，且 $x^2g^{\lambda_0}$ 在 $C^{2,\alpha}$ 拓扑下连续延拓至边界。