[论文解读] On Universal and Fault-Tolerant Quantum Computing

P. Oscar Boykin, Tal Mor+3 more|ArXiv.org|Jun 16, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用 88

一句话总结

本文提出了一套新颖的通用且容错的量子门集合，包含 Hadamard 门、单量子比特旋转 $\sigma_z^{1/4}$ 和受控-NOT 门。通过证明这些门通过具有无理旋转角度的非平凡旋转在 SU(4) 中生成一个处处稠密的子群，作者建立了其通用性的同时保持容错性，为在噪声环境中实现可扩展量子计算提供了最小且物理可实现的基。

ABSTRACT

A novel universal and fault-tolerant basis (set of gates) for quantum computation is described. Such a set is necessary to perform quantum computation in a realistic noisy environment. The new basis consists of two single-qubit gates (Hadamard and ${σ_z}^{1/4}$), and one double-qubit gate (Controlled-NOT). Since the set consisting of Controlled-NOT and Hadamard gates is not universal, the new basis achieves universality by including only one additional elementary (in the sense that it does not include angles that are irrational multiples of $π$) single-qubit gate, and hence, is potentially the simplest universal basis that one can construct. We also provide an alternative proof of universality for the only other known class of universal and fault-tolerant basis proposed by Shor and by Kitaev.

研究动机与目标

• 为在噪声量子系统中实际实现，开发一种既通用又容错的量子门集合。
• 通过仅在标准 Clifford 集基础上增加一个额外门，最小化非基本门的数量。
• 为一种避免门参数中出现 $\pi$ 的无理倍数的容错基，提供严格的通用性证明。
• 建立量子门生成与 SU(4) 中连续旋转群之间的联系，实现通用逼近。
• 为先前提出的容错基提供另一种通用性证明，从而加强容错量子计算的理论基础。

提出的方法

• 作者定义门集合 $G = \{ H, \sigma_z^{1/4}, \Lambda_1(\sigma_x) \}$，其中 $H$ 为 Hadamard 门，$\Lambda_1(\sigma_x)$ 为受控-NOT 门。
• 他们从生成元构造出三个关键酉算符 $\rho_x, \rho_y, \rho_z$，这些算符在四维希尔伯特空间中表现为旋转。
• 通过分析 $\rho_2$ 和 $\rho_3$ 的本征值，他们证明 $e^{i2\pi c} = \frac{1+i\sqrt{15}}{4}$ 不是单位根，意味着旋转角度为无理数。
• 这种无理性确保 $\rho_2$ 和 $\rho_3$ 的连续幂次可稠密逼近子空间中的任意 SU(2) 类旋转。
• 通过基变换将这些算符表示为带有复相位 $\alpha$ 和 $\beta$ 的旋转矩阵，这些相位同样不是单位根。
• 利用此类矩阵生成 SU(2) 的稠密子群这一事实，以及 SU(3) 可分解为 SU(2) 操作的事实，他们证明该门集合在 SU(4) 中生成一个稠密子群，因此具有通用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过一个非 Clifford 门 $\sigma_z^{1/4}$（在 Clifford 门之外）构造出通用量子门集合？
• RQ2 该门集合在标准量子误差纠正码下是否具有容错性？
• RQ3 $\sigma_z^{1/4}$ 门所涉及的旋转为 $\pi$ 的无理倍数，是否能实现通用量子计算？
• RQ4 新门集合生成的群是否能稠密逼近 SU(4) 中的所有酉操作，从而确保通用性？
• RQ5 所生成群的结构与 SU(4) 中连续旋转子群及其稠密性之间有何关系？

主要发现

• 已证明门集合 $\{ H, \sigma_z^{1/4}, \Lambda_1(\sigma_x) \}$ 在量子计算中具有通用性，因其在 SU(4) 中生成一个稠密子群。
• 与门 $\sigma_z^{1/4}$ 相关的旋转角度导致本征值 $e^{i2\pi c} = \frac{1+i\sqrt{15}}{4}$，该值不是单位根，从而确保旋转为无理数。
• $\rho_2$ 和 $\rho_3$ 构造算符的幂次可逼近二维子空间中的任意旋转，从而实现通用逼近。
• 该证明表明，该门集合在 SU(4) 中生成一个稠密子集，满足通用性的条件。
• 作者为 Shor 和 Kitaev 提出的基提供了另一种通用性证明，从而加强了容错量子计算的理论基础。
• 通过仅使用一个非基本门 $\sigma_z^{1/4}$，该构造避免了门参数中出现 $\pi$ 的无理倍数，使其可能成为最简化的通用且容错的基。