[论文解读] On upper bounds for regularity indices related to approximation theory

Petru A. Cioica-Licht, Markus Weimar|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2019

Mathematical Approximation and Integration被引用 1

一句话总结

本文通过利用Sobolev正则性 $\overline{s}_p$，结合拟Banach空间中的经典嵌入与复插值，建立了Besov空间中极限正则性指标 $\overline{\alpha}_p$ 的上界。证明了泊松方程已有的Besov正则性结果是精确的，将自适应方法的收敛速率与Lipschitz区域上的Sobolev正则性联系起来。

ABSTRACT

We study the interrelation between the limit $L_p(\Omega)$-Sobolev regularity $\overline{s}_p$ of (classes of) functions on bounded Lipschitz domains $\Omega\subseteq\mathbb{R}^d$, $d\geq 2$, and the limit regularity $\overline{\alpha}_p$ within the corresponding adaptivity scale of Besov spaces $B^\alpha_{ au, au}(\Omega)$, where $1/ au=\alpha/d+1/p$ and $\alpha>0$ ($p>1$ fixed). The former determines the convergence rate of uniform numerical methods, whereas the latter corresponds to the convergence rate of best $N$-term approximation. We show how additional information on the Besov or Triebel-Lizorkin regularity may be used to deduce upper bounds for $\overline{\alpha}_p$ in terms of $\overline{s}_p$ simply by means of classical embeddings and the extension of complex interpolation to suitable classes of quasi-Banach spaces due to Kalton, Mayboroda, and Mitrea (Contemp. Math. 445). The results are applied to the Poisson equation, to the $p$-Poisson problem, and to the inhomogeneous stationary Stokes problem. In particular, we show that already established results on the Besov regularity for the Poisson equation are sharp. Keywords: Non-linear approximation, adaptive methods, Besov space, Triebel-Lizorkin space, regularity of solutions, stationary Stokes equation, Poisson equation, $p$-Poisson equation, Lipschitz domain.

研究动机与目标

• 将有界Lipschitz区域上函数的 $L_p(\Omega)$-Sobolev正则性 $\overline{s}_p$ 与自适应尺度正则性 $\overline{\alpha}_p$ 在Besov空间中建立关联。
• 利用经典嵌入定理与先进插值技术，以 $\overline{s}_p$ 表示 $\overline{\alpha}_p$ 的上界。
• 将理论框架应用于关键PDE，包括泊松方程、$p$-泊松方程和定常Stokes方程。
• 通过所建立的上界，证明已知泊松方程的Besov正则性结果在该框架下是精确的。

提出的方法

• 利用关系式 $1/\mu = \alpha/d + 1/p$ 定义自适应尺度 $B^\alpha_{\mu,\mu}(\Omega)$，其中 $\alpha > 0$ 且固定 $p > 1$。
• 应用Sobolev空间与Besov空间之间的经典嵌入，连接 $\overline{s}_p$ 与 $\overline{\alpha}_p$。
• 采用Kalton、Mayboroda与Mitrea对复插值在拟Banach空间中的推广，处理非凸或类非凸函数空间。
• 通过结合Sobolev正则性与Lipschitz区域背景下插值估计，推导 $\overline{\alpha}_p$ 的上界。
• 通过分析解在Besov与Triebel-Lizorkin空间中的正则性，将理论边界应用于特定PDE。
• 通过证明所推导的上界与泊松方程已知正则性指标一致，验证了现有结果的精确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过Sobolev正则性 $\overline{s}_p$ 来界定自适应 $N$-项逼近尺度中极限正则性 $\overline{\alpha}_p$ 的上界？
• RQ2 经典嵌入与拟Banach空间中的复插值在推导此类上界中起到何种作用？
• RQ3 在所提出的框架下，先前建立的泊松方程的Besov正则性结果是否精确？
• RQ4 在 $p$-泊松方程与Stokes方程的背景下，正则性指标 $\overline{s}_p$ 与 $\overline{\alpha}_p$ 之间有何关系？
• RQ5 Sobolev正则性与Besov正则性之间的相互作用能否系统性地用于预测自适应数值方法中的收敛速率？

主要发现

• 通过经典嵌入与复插值，从 $\overline{s}_p$ 推导出 $\overline{\alpha}_p$ 的上界，为一致收敛速率与自适应收敛速率之间建立了理论联系。
• 该框架证实了已知泊松方程的Besov正则性结果是精确的，因为所推导的上界与已知正则性指标完全一致。
• 对于 $p$-泊松问题与非齐次定常Stokes方程，该方法基于 $\overline{s}_p$ 推导出 $\overline{\alpha}_p$ 的新上界估计。
• 在拟Banach空间中使用复插值，使得经典正则性传递技术可推广至更广泛的函数空间类别。
• 结果表明，Sobolev正则性 $\overline{s}_p$ 可作为可靠代理，用于通过 $\overline{\alpha}_p$ 预测最佳 $N$-项逼近速率。
• 该分析适用于 $\mathbb{R}^d$ 中的一般有界Lipschitz区域，$d \geq 2$，确保其在椭圆型与定常PDE中的广泛适用性。