[论文解读] On upper bounds of arithmetic degrees

Yohsuke Matsuzawa|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 18

一句话总结

本文在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的光滑射影概形上，为有理自同态下点的算术度建立了上界，证明了上算术度 $\overline{\alpha}_f(P)$ 被第一动力度 $\delta_f$ 上界控制。通过在 Néron-Severi 群上使用高度函数与谱半径估计，作者修正了先前工作中存在缺陷的证明，并在如 Picard 数为 1 且 $\delta_f > 1$ 等条件下，证明了典范高度函数的存在性，且归一化高度极限 $\lim_{n\to\infty} h_X(f^n(P))/\delta_f^n$ 收敛。该结果证实了算术动力系统中的一个关键猜想：$\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth projective variety over $ \overline{\mathbb Q}$, and $f:X -rightarrow X$ be a dominant rational map. Let $δ_{f}$ be the first dynamical degree of $f$ and $h_{X}:X( \overline{\mathbb Q}) o [1,\infty)$ be a Weil height function on $X$ associated with an ample divisor on $X$. We prove several inequalities which give upper bounds of the sequence $(h_X (f^n(P)))_{n\geq0}$ where $P$ is a point of $X( \overline{\mathbb Q})$ whose forward orbit by $f$ is well-defined. As a corollary, we prove that the upper arithmetic degree is less than or equal to the first dynamical degree; $ \overlineα_{f}(P) \leq δ_{f}$. Furthermore, if the Picard number of $X$ is one, $f$ is algebraically stable and $δ_{f}>1$, we prove that the limit defining canonical height $\lim_{n o \infty} h_{X} (f^{n}(P)) \big/ δ_f^n$ converges.

研究动机与目标

• 解决关于有理映射下点的上算术度被第一动力度上界控制的猜想。
• 提供不等式 $\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$ 的正确证明，该不等式在早期工作中被错误地建立。
• 确立典范高度函数在有理自同态下存在的条件，特别是当 Picard 数为 1 且 $\delta_f > 1$ 时。
• 通过奇点消解与数值等价性论证，将高度函数与动力度理论推广至正特征情形。
• 利用 Néron-Severi 群上的谱半径与 $L^2$-范数技术，为 Weil 高度在迭代下的增长提供严格估计。

提出的方法

• 将第一动力度 $\delta_f$ 定义为在 $N^1(X)_\mathbb{R}$ 上拉回作用的谱半径，通过奇点消解定义除子类上的 $f^*$。
• 使用高度增长的递推不等式：$c_{n+1} \leq \widetilde{C}n^2 c_0 + C_3 \sqrt{\widetilde{C}n^2 c_0}$，该式源于对数值平凡除子的高度界。
• 通过满足 $b_{n+1} = b_n + C\sqrt{b_n}$ 的控制序列 $b_n$ 进行比较论证，该序列在适当条件下被 $\widetilde{C}n^2 b_0$ 控制。
• 利用 Néron-Tate 高度工具，证明当 $\delta_f > 1$、Picard 数为 1 且 $f$ 代数稳定时，$h_X(f^n(P))/\delta_f^n$ 收敛。
• 利用关于阿贝尔覆叠的结果，证明数值平凡除子的高度相对于一个充分正除子有界，从而控制高度估计中的误差项。
• 通过使用将代数平凡线丛拉回的阿贝尔簇上的态射，将证明适应至正特征情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有 $P \in X_f(\overline{\mathbb{Q}})$，上算术度 $\overline{\alpha}_f(P)$ 是否满足 $\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$？
• RQ2 在何种条件下，有理自同态的典范高度 $\lim_{n\to\infty} h_X(f^n(P))/\delta_f^n$ 存在？
• RQ3 能否通过高度函数估计与谱半径控制，修正 Kawaguchi-Silverman [13] 中 $\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$ 的缺陷证明？
• RQ4 在代数稳定与 Picard 数为 1 的条件下，$h_X(f^n(P))$ 的增长是否被 $\delta_f^n$ 的某个倍数控制？
• RQ5 能否将数值平凡除子的高度估计推广至正特征的奇异概形？

主要发现

• 上算术度 $\overline{\alpha}_f(P)$ 被第一动力度 $\delta_f$ 上界控制，即 $\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$，解决了算术动力系统中的一个关键猜想。
• 当 $X$ 的 Picard 数为 1、$f$ 代数稳定且 $\delta_f > 1$ 时，典范高度函数 $\lim_{n\to\infty} h_X(f^n(P))/\delta_f^n$ 收敛。
• 在适当初始条件下，序列 $c_n = h_X^+(f^n(P))$ 满足递推高度界 $c_{n+1} \leq \widetilde{C}(n+1)^2 c_0$。
• 通过在 $N^1(X)_\mathbb{R}$ 上使用控制序列与谱半径估计，修正了 Kawaguchi 和 Silverman [13] 原始论证中的缺陷。
• 当 $H$ 为充分正时，与数值平凡除子相关联的高度函数满足 $|h_E| \leq C\sqrt{h_H}$，其中 $C$ 为某常数，从而确保高度增长估计中误差的控制。
• 在正特征情形下，通过存在一个将代数平凡线丛拉回的阿贝尔簇上的态射，高度估计得以扩展，保持了对数值平凡除子的关键不等式。