[论文解读] On Utility Maximisation Under Model Uncertainty in Discrete-Time Markets

Miklós Rásonyi, Andrea M. Rodrigues|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文研究在离散时间市场中，存在一个无风险资产和有限多个风险资产时，模型不确定性下的最优投资组合选择问题。在有界效用函数下建立了最优投资策略的存在性，并通过强化的无套利条件将结果推广至无界效用函数，提出了一套新框架：所有价格动态均在同一个概率空间上定义，而非在一族测度下定义。

ABSTRACT

We study the problem of maximising terminal utility for an agent facing model uncertainty, in a frictionless discrete-time market with one safe asset and finitely many risky assets. We show that an optimal investment strategy exists if the utility function, defined either over the positive real line or over the whole real line, is bounded from above. We further find that the boundedness assumption can be dropped provided that we impose suitable integrability conditions, related to some strengthened form of no-arbitrage. These results are obtained in an alternative framework for model uncertainty, where all possible dynamics of the stock prices are represented by a collection of stochastic processes on the same filtered probability space, rather than by a family of probability measures.

研究动机与目标

• 解决具有摩擦的离散时间金融市场中，模型不确定性下的效用最大化问题。
• 提出一种新框架，将所有可能的价格动态表示为单一带滤过概率空间上的随机过程，而非在一族概率测度下定义。
• 在效用函数有上界时，建立最优投资策略的存在性，并在强化的无套利条件下将其推广至无界效用函数。
• 在不依赖支配或非支配概率测度的替代假设下，提供存在性结果，为鲁棒投资组合选择提供新的理论洞见。

提出的方法

• 模型不确定性通过固定带滤过概率空间上的随机过程族 $\mathcal{S}$ 表示，每一过程代表一种可能的价格动态。
• 效用最大化问题被表述为在 $\mathcal{S}$ 中所有过程上最差情况期望效用的最小化，即 $\Xi(\phi) = \inf_{S \in \mathcal{S}} \mathbb{E}^P\left[U(W^S_T(w_0, \phi))\right]$。
• 利用 de la Vallée-Poussin 定理和正效用分量的统一可积性，建立了泛函 $\Xi$ 的上半连续性。
• 对于有界效用函数，通过在可执行策略空间中的序列紧致性和凸性论证，证明了最优解的存在性。
• 对于无界效用函数，施加可积性条件（例如 $\mathbb{E}^P[(W^S_T)^-]^{\alpha\theta} < \infty$）以确保统一可积性和最优策略的存在性。
• 通过有界 Radon-Nikodym 导数构造等价鞅测度 $Q(S)$，确保在 $Q(S)$ 下的鞅性质，从而可应用鞅方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在效用有上界时，离散时间市场中模型不确定性下最优投资策略存在的条件是什么？
• RQ2 能否放宽效用函数的有界性假设？若能，需满足何种可积性和无套利条件？
• RQ3 所提出的框架——所有模型均在同一个概率空间上定义——与标准的非支配测度方法相比，在存在性和鲁棒性方面有何差异？
• RQ4 具有有界密度比的等价鞅测度在无界效用下确保最优策略存在性的角色是什么？
• RQ5 在新框架下，最坏情况期望效用泛函能否被证明为上半连续？这如何支持最优解的存在性？

主要发现

• 在所提出的框架下，对于定义在正实数轴或整个实数轴上的有上界效用函数，最优投资策略存在。
• 对于无界效用函数，通过强化的无套利条件（特别是要求 $\mathbb{E}^P[(W^S_T)^-]^{\alpha\theta} < \infty$，其中 $\theta > 1$ 且 $\alpha\theta < 1$）建立了最优策略的存在性。
• 泛函 $\Xi(\phi) = \inf_{S \in \mathcal{S}} \mathbb{E}^P[U(W^S_T(w_0, \phi))]$ 在可执行策略空间上是上半连续的，确保了上确界的可达性。
• 存在具有有界密度 $dQ(S)/dP$ 的等价鞅测度 $Q(S)$，使得可应用鞅方法，并确保财富过程的统一可积性。
• 证明技术依赖于 de la Vallée-Poussin 定理，以建立 $U^+(W^S_T)$ 的统一可积性，这对收敛性和半连续性至关重要。
• 该框架避免了以往研究中使用的公理化集合论假设（如 Martin 公理），在更弱条件下提供了更直接、更具构造性的确保存在性证明。