[论文解读] On vanishing of Abelian integrals and contraction of curves

Hossein Movasati, Evelina Viada|arXiv (Cornell University)|May 17, 2005

advanced mathematical theories被引用 1

一句话总结

该论文证明：若在定义在数域上的亏格 ≥2 曲线 C 上的全纯1-形式 ω 沿拓扑循环 γ 的积分为零，则 C 必须非平凡地收缩到一个亏格更低的曲线 D，且 ω 可从 D 拉回。关键结果为有界次数的收缩，其中收缩映射的次数与 D 的定义域的次数均具有显式上界，该结果通过将阿贝尔子簇定理应用于 C 的雅可比簇而证明。

ABSTRACT

In this article we consider a smooth curve C of genus at least two. We prove that if the integral of a differential 1-form of the first kind ω on a topological cycle γ of C is zero and both C and ω are defined over a number field, then there must be a non-trivial contraction of C to another curve D of smaller positive genus such that the topological cycle γ is mapped to zero under this contraction and ω is the pull-back of some differential form on D. We give an upper bound for the degree of the contraction and for the degree of the field of definition of D in terms of some numerical invariants. The basic tool of the proof is the abelian Subvariety Theorem. This ensures the existence of an abelian subvariety B of a given abelian variety A and of bounded degree, under the condition that there exists a proper subspace of the tangent space of A at zero which contains a period of A. The fact that a curve can be embedded in its Jacobian, provides the link between the two situations. 1

研究动机与目标

• 理解全纯1-形式在亏格 ≥2 曲线上沿拓扑循环积分为零时的几何与算术条件。
• 确定此类积分为零是否意味着存在从该曲线到更低亏格曲线的非平凡态射。
• 建立收缩映射次数与目标曲线定义域次数的有效上界。
• 通过周期条件将阿贝尔积分的拓扑积分为零与雅可比簇中阿贝尔子簇的存在性联系起来。
• 利用阿贝尔子簇定理，提供具有积分为零的阿贝尔积分的曲线的数论与几何刻画。

提出的方法

• 将曲线 C 嵌入其雅可比簇 J(C)，利用从 C 到 J(C) 的典范映射，将拓扑与微分条件转化为算术-几何条件。
• 利用阿贝尔子簇定理，若 J(C) 的某个周期位于其零点切空间的真子空间中，则保证存在有界次数的真阿贝尔子簇 B ⊂ J(C)。
• 将 ω 沿 γ 的积分为零的条件与包含某个周期的真切空间子空间的存在性对应起来，从而触发阿贝尔子簇定理的应用。
• 构造商阿贝尔簇 A = J(C)/B，该簇通过托里奇定理对应于一个正亏格更低的曲线 D。
• 证明原始曲线 C 上的微分形式 ω 是 D 上全纯1-形式沿收缩映射 C → D 的拉回。
• 利用 C 与 ω 的数值不变量，推导出收缩映射次数与 D 的定义域次数的显式上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，全纯1-形式在曲线上阿贝尔积分的积分为零，可推出存在到更低亏格曲线的非平凡态射？
• RQ2 能否利用雅可比簇周期的积分为零来构造有界次数的阿贝尔子簇？
• RQ3 当此类积分为零时，收缩映射的次数与目标曲线定义域的次数具有何种有效上界？
• RQ4 阿贝尔子簇定理如何将积分的拓扑积分为零与曲线的几何收缩联系起来？
• RQ5 当全纯1-形式在循环上积分为零时，雅可比簇的结构在多大程度上能反映此类收缩的存在性？

主要发现

• 若全纯1-形式 ω 沿拓扑循环 γ 的积分为零，且 C 与 ω 均定义在数域上，则 C 必有非平凡收缩到一个亏格更低的正亏格曲线 D。
• C 上的微分形式 ω 是收缩映射 C → D 下 D 上全纯1-形式的拉回。
• 收缩映射 C → D 的次数由 C 与 ω 的数值不变量有界控制。
• 目标曲线 D 定义在数域上，其次数由 C 与 ω 的几何导出的显式不变量有界控制。
• 此类收缩的存在性由阿贝尔子簇定理在 C 的雅可比簇上的应用所保证。
• 该证明建立了阿贝尔积分积分为零与雅可比簇中具有受控次数的阿贝尔子簇存在性之间的精确联系。