[论文解读] On variants of symmetric multiple zeta-star values and the cyclic sum formula

Minoru Hirose, Hideki Murahara+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文通过调和、卷积及Kaneko-Yamamoto型正则化方法，引入了三种$t$-adic对称多重zeta-star值（SMZSVs）变体，证明了它们在模$\theta(2)\mathcal{Z}[[t]]$下的等价性。文章建立了$t$-adic SMZSVs的循环和公式，通过一种全新的$t$-adic与经典循环和公式之间的联系，将经典多重zeta-star值的循环和公式推广至$t$-adic设定。

ABSTRACT

The $t$-adic symmetric multiple zeta values were defined Jarossay, which have been studied as a real analogue of $\boldsymbol{p}$-adic finite multiple zeta values. In this paper, we consider the star analogues based on several regularization processes of multiple zeta-star values: harmonic regularization, shuffle regularization, and Kaneko-Yamamoto's type regularization. We also present the cyclic sum formula for $t$-adic symmetric multiple zeta(-star) values, which is the counterpart of that for $\boldsymbol{p}$-adic finite multiple zeta(-star) values obtained by Kawasaki. The proof uses our new relationship that connects the cyclic sum formula for $t$-adic symmetric multiple zeta-star values and that for the multiple zeta-star values.

研究动机与目标

• 通过调和、卷积及Kaneko-Yamamoto型正则化方法，定义并研究三种$t$-adic对称多重zeta-star值变体。
• 在模$\theta(2)\mathcal{Z}[[t]]$下，建立这三种$t$-adic SMZSV变体的等价性。
• 制定并证明$t$-adic对称多重zeta-star值的循环和公式，该公式与经典多重zeta-star值的循环和公式类似。
• 通过一种新的关联恒等式，阐明$t$-adic SMZSVs的循环和公式与经典MZSVs的循环和公式之间的结构关系。

提出的方法

• 通过包含$t$-幂次的索引截断和二项式系数的生成函数方法，定义$t$-adic对称多重zeta-star值。
• 采用三种正则化方案——调和（$*$）、卷积（$\mathcal{sh}$）和Kaneko-Yamamoto（KY）——在$\mathcal{Z}[[t]]$中定义不同的$t$-adic SMZSVs。
• 在模$\theta(2)\mathcal{Z}[[t]]$下，建立卷积正则化与KY正则化$t$-adic SMZSVs之间的同余关系，证明其在商环中的等价性。
• 引入一个新恒等式，将$t$-adic SMZSVs的循环和公式与经典MZSVs的循环和公式联系起来，从而支持主循环和公式的证明。
• 通过索引的循环移位上的组合恒等式以及混合逗号加号分解的带符号和，验证循环和公式。
• 利用归纳法和索引的结构分解，将循环和公式约化为经典设定中的已知恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 三种正则化方案——调和、卷积和Kaneko-Yamamoto——如何生成不同的$t$-adic对称多重zeta-star值？它们在适当的商环中是否等价？
• RQ2 能否制定并证明$t$-adic对称多重zeta-star值的循环和公式，使其与经典多重zeta-star值的循环和公式类似？
• RQ3 $t$-adic SMZSVs的循环和公式与经典MZSVs的循环和公式之间存在何种精确关系？
• RQ4 $t$-adic SMZSVs是否满足一个循环和恒等式，且在$t \to 0$极限下退化为经典恒等式？
• RQ5 $t$-adic框架如何通过正则化实现对称多重zeta值的统一处理？

主要发现

• 卷积正则化与Kaneko-Yamamoto正则化$t$-adic SMZSVs在模$\theta(2)\mathcal{Z}[[t]]$下同余，确立了其在商环中的等价性。
• 三种$t$-adic SMZSV变体——调和、卷积和KY——在模$\theta(2)\mathcal{Z}[[t]]$下等价，允许使用统一记号$\theta^{\text{--}}_{\text{--}}_{\text{--}}(\boldsymbol{k})$表示其约化形式。
• 证明了$t$-adic SMZSVs的循环和公式恒为零，从而将经典循环和公式推广至$t$-adic设定。
• 该证明依赖于一个新恒等式，通过循环移位和索引分解，将$t$-adic SMZSVs的循环和公式与经典MZSVs的循环和公式联系起来。
• $t$-adic SMZSVs的循环和公式被表达为对循环移位和索引分解的带符号项之和，其结构在$t \to 0$极限下与经典结构一致。
• 通过新关联恒等式，将$t$-adic SMZSVs的循环和公式约化为经典设定中已知的恒等式，从而确立其恒为零。