[论文解读] On vector bundles destabilized by Frobenius pull-back

Kirti Joshi, S. Ramanan+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文在特征 p=2 的情况下，对亏格 ≥2 的曲线上的秩-2 半稳定向量丛，其 Frobenius 拉回不为半稳定的情形，给出了完整的分类。通过 Frobenius 降维理论与预-主丛理论，证明此类丛的模空间维数为 3g−4，并确立了不稳定性的一个精确界限，揭示了拉回丛中高不稳定性意味着原丛中高稳定性。

ABSTRACT

Let X be an irreducible smooth projective curve of genus at least two over an algebraically closed field k of characteristic p>0. In this paper we study the natural stratification, defined using the absolute Frobenius of X, on the moduli space of vector bundles on X of suitable rank. In characteristic two we provide a complete classification of rank two semi-stable vector bundles whose Frobenius pull-back is not semi-stable. We also obtain fairly good information about the strata of the Frobenius stratification, including the irreducibility and the dimension of each non-empty Frobenius stratum. In particular we show that the locus of Frobenius destabilized bundles has dimension 3g-4 in the moduli space of semi-stable bundles of rank two. We also construct stable bundles that are destabilized by Frobenius in the following situations: characteristic p=2 and rank four, (2) characteristic p=rank=3, (3) characteristic p=rank=5 and g at least three. We also explore (in any characteristic) the connection between Frobenius destabilized bundles and (pre)-opers, this approach allows us to reinterpret some of our results in terms of pre-opers and also allows us to construct Frobenius destablised bundles from certain pre-opers (or opers). The other result we obtain is (for characteristic two): we show that the Gunning bundle descends under Frobenius when genus g is even. If g is odd, then the Gunning bundle twisted by any odd degree line bundle also descends.

研究动机与目标

• 对特征 p=2、亏格 ≥2 的光滑射影曲线上的所有秩-2 半稳定向量丛，分类其 Frobenius 拉回不为半稳定的情形。
• 确定半稳定丛模空间中 Frobenius 分层的维数与不可约性。
• 通过显式构造示例，证明 Sun 定理 3.1 中的界限是精确的。
• 探讨 Frobenius-不稳定丛与正特征下预-主丛之间的联系。
• 建立 Gunning 丛在何种条件下可下移至基曲线的条件，取决于亏格的奇偶性。

提出的方法

• 利用 Frobenius 拉回与 Harder-Narasimhan 分解分析向量丛中的不稳定性。
• 应用 p-平坦联络与 p-曲率理论，将具有联络的向量丛与 Frobenius 降维联系起来。
• 利用 Harder-Narasimhan 结构在拉回丛上构造一个典范过滤。
• 利用同构 $ F^*(V^{ abla=0}) \to V $，建立 p-平坦丛与 Frobenius 降维之间的等价关系。
• 运用 Jordan-Hölder 过滤与斜率界限分析对偶丛 $ V^{ abla=0} $ 的稳定性。
• 通过斜率差与秩约束对 p 的显式界限，证明 $ V^{ abla=0} $ 的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 p=2、亏格 ≥2 的曲线上，哪些秩-2 半稳定向量丛满足其 Frobenius 拉回不为半稳定？
• RQ2 在半稳定丛模空间中，Frobenius-不稳定丛的模空间的维数与不可约性如何？
• RQ3 Frobenius 拉回丛 $ F^*V $ 的不稳定性与原丛 $ V $ 的稳定性之间有何关系？能否进行量化？
• RQ4 在何种条件下 Gunning 丛可下移至基曲线？
• RQ5 在正特征 $ p>0 $ 下，能否利用预-主丛构造 Frobenius-不稳定丛？这些预-主丛是否必为标准主丛？

主要发现

• 在模空间中，Frobenius-不稳定秩-2 半稳定丛的模空间维数恰好为 $ 3g - 4 $。
• 通过显式构造示例，证明 Sun 定理 3.1 中的界限是精确的，即该界限可被达到。
• 若 $ F^*V $ 具有高不稳定性，则原丛 $ V $ 具有高稳定性，这一关系由不变量 $ s(V) $ 量化，该不变量衡量其与稳定性的偏离程度。
• 当亏格为偶数时，Gunning 丛可下移至基曲线；当亏格为奇数时，任何奇数次线丛扭张后的 Gunning 丛也可下移。
• 当 $ p=2, n=4 $，$ p=n=3 $，以及 $ p=n=5 $ 且 $ g \geq 3 $ 时，存在被 Frobenius 拉回 destabilized 的稳定丛。
• 在特征 $ p>0 $ 下，预-主丛存在，且不一定是标准主丛，这与特征零情形下所有预-主丛均为标准主丛的情况形成对比。