[论文解读] On von Neumann spectral triples

M-T. Benameur, Thierry Fack|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文引入了冯·诺依曼谱三元组，这是一种针对$II_{\infty}$冯·诺依曼代数的非交换几何框架，并利用狄克曼迹建立了分析陈-康尼斯示性类的局部公式。它在叶状结构的背景下将该迹识别为测度化的沃兹奇基迹，为无限维代数建立了非交换指标理论。

ABSTRACT

We define the notion of von Neumann spectral triple and consider the associated index problem. We compute the analytic Chern-Connes character of such a von Neumann spectral triple and prove the corresponding local formula for its Hochschild class. This formula involves the Dixmier trace for $II_{\infty}$ von Neumann algebras. In the case of foliations, we identify this Dixmier trace with the corresponding measured Wodzicki residue.

研究动机与目标

• 通过定义冯·诺依曼谱三元组，将非交换几何扩展至$II_{\infty}$冯·诺依曼代数。
• 在该新框架中，利用分析与拓扑不变量解决指标问题。
• 计算此类三元组的分析陈-康尼斯示性类，并为其霍赫希尔德类推导出一个局部公式。
• 在叶状流形的背景下，将此情境下的狄克曼迹与测度化的沃兹奇基迹相联系。
• 利用谱论工具，为无限维代数建立一个非交换指标定理。

提出的方法

• 将冯·诺依曼谱三元组定义为三元组$(A, H, D)$，其中$A$是$II_{\infty}$冯·诺依曼代数，$H$是希尔伯特空间，$D$是满足适当谱条件与有界性条件的无界自伴算子。
• 使用狄克曼迹在与$II_{\infty}$代数相关的可测算子理想上定义一个迹泛函。
• 通过冯·诺依曼设定下狄拉克算子指数的超迹的迹，计算分析陈-康尼斯示性类。
• 通过将霍赫希尔德类的陈-康尼斯示性类表达为对换子乘积的狄克曼迹，推导出其霍赫希尔德类的局部公式。
• 通过分析谱 zeta 函数的渐近行为，建立狄克曼迹与叶状结构中测度化沃兹奇基迹之间的联系。
• 将形式体系应用于叶状流形，表明谱密度的狄克曼迹对应于狄拉克算子符号的测度化沃兹奇基迹。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将谱三元组的框架扩展至缺乏有限迹的$II_{\infty}$冯·诺依曼代数？
• RQ2 冯·诺依曼谱三元组的分析陈-康尼斯示性类是什么？在这一无限维设定下如何计算？
• RQ3 能否在$II_{\infty}$背景下，利用狄克曼迹为陈-康尼斯示性类的霍赫希尔德类推导出局部公式？
• RQ4 在此设定下，狄克曼迹与叶状结构理论中的几何不变量（如沃兹奇基迹）有何关系？
• RQ5 冯·诺依曼谱三元组的非交换指标定理是什么？它如何推广阿蒂亚-辛格指标定理？

主要发现

• 冯·诺依曼谱三元组的分析陈-康尼斯示性类是通过$II_{\infty}$代数中可测算子理想上的狄克曼迹计算得出的。
• 推导出陈-康尼斯示性类的霍赫希尔德类的局部公式，明确涉及狄克曼迹对与狄拉克算子的换子乘积的迹。
• 在叶状结构的情形下，谱密度的狄克曼迹被识别为狄拉克算子符号的测度化沃兹奇基迹。
• 该形式体系为$II_{\infty}$冯·诺依曼代数提供了非交换指标理论，将非交换几何的适用范围从有限迹扩展至更广的领域。
• 该结果通过迹泛函将谱不变量与几何余项联系起来，建立了非交换几何与叶状结构理论之间的桥梁。