[论文解读] On Warped Product Gradient Ricci-Harmonic Soliton

Elismar Dias Batista, Levi Adriano+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文研究了在扭曲积流形上的梯度里奇-调和孤立子（GRHS），通过分析调和映射与势函数结构，推导出其存在的必要与充分条件。通过假设基空间与纤维均关于共维数为一的平移群不变，并共形微分同构于半欧几里得空间，该文在半黎曼几何设定下构造了无穷多个测地完备的非平凡例子，突破了黎曼几何的限制。

ABSTRACT

In this paper we study gradient Ricci-Harmonic soliton with structure of warped product manifold. We obtain some triviality results for the potential function, warping function and the harmonic map which reaches maximum or minimum. In order to obtain nontrivial examples of warped product gradient Ricci-harmonic soliton, we consider the base and fiber conformal to a semi-Euclidean space which is invariant under the action of a translation group of co-dimension one. This approach provide infinitely many geodesically complete examples in the semi-Riemannian context, which is not contemplated in the Riemannian case by the Theorem 1.2 in [17].

研究动机与目标

• 通过势函数表征扭曲积梯度里奇-调和孤立子上调和映射的结构。
• 建立在扭曲积流形上存在GRHS的必要与充分条件，其中调和映射形式为 $ u = u_B \circ \pi $ 或 $ u = u_F \circ \sigma $。
• 通过利用半黎曼几何与群作用，将非平凡GRHS例子的构造拓展至黎曼情形之外。
• 利用最大值原理，证明当势函数、调和映射或扭曲函数在最大值/最小值处取值时，其为平凡解，即孤立子退化为梯度里奇孤立子或调和爱因斯坦流形。
• 通过假设基空间与纤维在共维数为一的平移群作用下共形微分同构于半欧几里得空间，构造无穷多个半黎曼设定下的测地完备GRHS例子。

提出的方法

• 通过证明当且仅当势函数满足 $ h = h_B \circ \pi $ 时，扭曲积GRHS上的调和映射 $ u $ 满足 $ u = u_B \circ \pi $ 或 $ u = u_F \circ \sigma $，从而表征了调和映射的结构。
• 应用扭曲积度量 $ g = \pi^*g_B + (f \circ \pi)^2 \sigma^*g_F $，其中 $ f > 0 $，以定义流形结构。
• 推导GRHS存在的偏微分方程组：包含里奇曲率方程中涉及 $ \theta \nabla u \otimes \nabla u $ 的混合项、调和映射方程，以及基空间与纤维的曲率条件。
• 施加几何约束：基空间 $ B $ 与纤维 $ F $ 共形微分同构于半欧几里得空间，且在共维数为一的平移群作用下不变。
• 利用最大值原理证明平凡性结果：若 $ u_B $、$ u_F $、$ h_B $ 或 $ f $ 在某点取极值，则孤立子退化为梯度里奇孤立子或调和爱因斯坦流形。
• 通过在共形结构下求解测地线方程分析测地完备性，证明所有解在 $ \mathbb{R} $ 上定义，从而确认测地完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扭曲积GRHS上，调和映射何时可分解为通过基空间或纤维的复合？
• RQ2 在形式为 $ u = u_B \circ \pi $ 或 $ u = u_F \circ \sigma $ 的调和映射下，扭曲积流形上GRHS存在的必要与充分条件是什么？
• RQ3 是否可在黎曼情形之外，在半黎曼几何设定下构造出非平凡且测地完备的GRHS？
• RQ4 当势函数、调和映射或扭曲函数在最大值或最小值处取值时，何时会使孤立子退化为梯度里奇孤立子或调和爱因斯坦流形？
• RQ5 共维数为一的平移群作用在实现无穷多个测地完备GRHS例子中起到何种作用？

主要发现

• 在扭曲积流形上存在GRHS当且仅当基空间满足包含 $ \theta \nabla u_B \otimes \nabla u_B $ 的修正里奇曲率方程，且纤维为爱因斯坦或爱因斯坦-调和流形。
• 若调和映射 $ u_B $ 或 $ u_F $ 在基空间或纤维上取到最大值或最小值，则 $ u $ 必为常值，GRHS退化为梯度里奇孤立子。
• 若 $ \lambda \geq 0 $，$ h_B $ 取极值，且 $ \frac{m \Delta_{g_B} f}{f} \geq \text{scal}_{g_B} $，则 $ h_B $ 为常值，意味着孤立子为调和爱因斯坦流形。
• 若扭曲函数 $ f $ 取到最大值或最小值，且 $ \lambda \leq \frac{\mu}{f^2} $，则 $ f $ 为常值，度量退化为半黎曼积流形。
• 通过假设基空间与纤维在共维数为一的平移群作用下共形微分同构于半欧几里得空间，本文构造了无穷多个测地完备的GRHS例子。
• 所构造扭曲积流形上所有测地线均在 $ \mathbb{R} $ 上定义，从而在半黎曼设定下确认了测地完备性。