[论文解读] On warped product manifolds satisfying some pseudosymmetric type conditions

Absos Ali Shaikh, Haradhan Kundu|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 19

一句话总结

本文研究满足伪对称型曲率条件的扭曲积半黎曼流形，特别是涉及射影曲率张量的情形。推导出满足 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ 的流形的刻画定理，表明若 $ L_2 \neq 0 $，则基流形为平坦或纤维为爱因斯坦流形，特殊情形可恢复半对称性、伪对称性及基于射影曲率张量的条件。

ABSTRACT

The object of the present paper is to study the characterization of warped product manifolds satisfying some pseudosymmetric type conditions, especially, due to projective curvature tensor. For this purpose we consider a warped product manifold satisfying the pseudosymmetric type condition $R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R)$ and evaluate its characterization theorem. As special cases of $L_1$ and $L_2$ we find out the necessary and sufficient condition for a warped product manifold to satisfy various pseudosymmetric type, such as pseudosymmetry, Ricci generalized pseudosymmetry, semisymmetry due to projective curvature tensor ($P\cdot R = 0$), pseudosymmetry due to projective curvature tensor ($P\cdot R = L Q(g,R)$) etc. Finally we present some suitable examples of warped product manifolds satisfying such pseudosymmetric type conditions.

研究动机与目标

• 刻画满足伪对称型条件 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ 的扭曲积半黎曼流形。
• 确定此类扭曲积流形满足特定曲率限制（包括半对称性、伪对称性及基于射影曲率张量的条件）的充分必要条件。
• 探讨当 $ L_2 \neq 0 $ 时，对基流形与纤维流形的几何影响，表明基流形为平坦或纤维流形为爱因斯坦流形。
• 构造满足各种伪对称型条件的扭曲积流形的显式示例，以验证理论结果。
• 建立伪对称流形可作为半对称流形的全脐超曲面的结论，利用扭曲积结构。

提出的方法

• 为扭曲积流形 $ M = \overline{M} \times_f \widetilde{M} $ 推导曲率条件 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $，使用 Levi-Civita 联络与曲率张量。
• 应用扭曲积结构，将黎曼曲率张量 $ R $、 Ricci 张量 $ S $ 及射影曲率张量 $ P $ 分解为基流形 $ \overline{M} $ 与纤维 $ \widetilde{M} $ 的分量。
• 利用条件 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ 推导涉及扭曲函数 $ f $、数量曲率 $ \kappa $ 以及基与纤维曲率张量的方程组。
• 分析所得方程，表明若 $ L_2 \neq 0 $，则 $ \overline{R} = 0 $（基流形平坦）或 $ \widetilde{S} = \frac{\widetilde{\kappa}}{n-p} \widetilde{g} $（纤维为爱因斯坦）。
• 将一般条件应用于特殊情况：$ L_1 = 0 $，$ L_2 = 0 $，$ L_1 = L_2 = 1 $，以及 $ L_2 = 0 $ 且 $ L_1 $ 为标量，以恢复半对称性、伪对称性及基于射影曲率张量的条件。
• 通过特定扭曲函数与度量构造显式示例，验证曲率条件成立，包括一个满足 $ R\cdot R = a Q(g,R) $ 的示例，以及另一个满足 $ R\cdot R = Q(g,R) + \text{非常数项} \cdot Q(S,R) $ 的示例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，扭曲积流形 $ M = \overline{M} \times_f \widetilde{M} $ 满足伪对称型条件 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $？
• RQ2 当曲率条件中 $ L_2 \neq 0 $ 时，对基流形 $ \overline{M} $ 与纤维 $ \widetilde{M} $ 施加了何种几何约束？
• RQ3 当 $ L_1 $ 与 $ L_2 $ 取特殊值（如 $ L_1 = 1, L_2 = 0 $ 或 $ L_1 = 0, L_2 = 1 $）时，如何对应到已知的曲率条件（如半对称性或 Ricci 广义伪对称性）？
• RQ4 伪对称流形是否可作为半对称扭曲积流形的全脐超曲面出现？
• RQ5 哪些扭曲积流形的显式示例满足 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $，它们如何验证所推导的条件？

主要发现

• 若扭曲积流形 $ M = \overline{M} \times_f \widetilde{M} $ 满足 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ 且 $ L_2 $ 处处非零，则基流形 $ \overline{M} $ 为平坦或纤维 $ \widetilde{M} $ 为爱因斯坦流形。
• 对于特殊情况 $ R\cdot R = 0 $，基流形 $ \overline{M} $ 为半对称，纤维 $ \widetilde{M} $ 为伪对称。
• 当 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) $ 时，基与纤维均为伪对称。
• 对于 $ P\cdot R = 0 $，由于射影曲率张量，流形为半对称，且当且仅当基流形平坦或纤维为爱因斯坦流形时成立。
• 对于 $ P\cdot R = L Q(g,R) $，条件退化为 $ Q(g,R) $ 的标量倍，同样表明基流形平坦或纤维为爱因斯坦流形。
• 构造了一个显式示例，其中 $ R\cdot R = a Q(g,R) $，表明 $ M $ 为常型的扭曲积伪对称流形；若 $ a = 0 $，则其为半对称；此时 $ W\cdot R = 0 $，故其为基于 concircular 曲率张量的半对称型流形。