[论文解读] On Wasserstein geometry of the space of Gaussian measures

Asuka Takatsu|ArXiv.org|Jan 15, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 19

一句话总结

本文推导出在 $L^2$-Wasserstein 度量下，零均值高斯测度空间的截面曲率的显式公式，表明曲率仅取决于协方差矩阵的特征值。通过在对称正定矩阵流形上的黎曼几何方法，给出了所有曲率分量的闭式表达式，确认了与 Otto 的形式计算的一致性，并确立了整个空间的非负曲率。

ABSTRACT

The space of Gaussian measures on a Euclidean space is geodesically convex in the $L^2$-Wasserstein space. This space is a finite dimensional manifold since Gaussian measures are parameterized by means and covariance matrices. By restricting to the space of Gaussian measures inside the $L^2$-Wasserstein space, we manage to provide detailed descriptions of the $L^2$-Wasserstein geometry from a Riemannian geometric viewpoint. We first construct a Riemannian metric which induces the $L^2$-Wasserstein distance. Then we obtain a formula for the sectional curvatures of the space of Gaussian measures, which is written out in terms of the eigenvalues of the covariance matrix.

研究动机与目标

• 为 $L^2$-Wasserstein 距离下的高斯测度空间提供一个严格的黎曼几何描述。
• 以协方差矩阵的特征值为参数，显式计算零均值高斯测度空间的截面曲率。
• 在无限维 Wasserstein 空间框架下，确认与 Otto 的形式曲率表达式的一致性。
• 确立零均值高斯测度空间是 $L^2$-Wasserstein 空间中具有非负截面曲率的测地凸子流形。

提出的方法

• 在零均值高斯测度空间上构造一个诱导 $L^2$-Wasserstein 距离的黎曼度量。
• 将每一点的切空间与对称矩阵空间等同，利用正定矩阵流形的微分结构。
• 通过协方差矩阵的正交对角化，以矩阵单位定义正交切向量场。
• 应用黎曼几何中的截面曲率公式，通过所选正交标架中的黎曼曲率张量计算曲率。
• 利用度量的结构及对称空间 $\mathrm{Sym}^+(d,\mathbb{R})$ 的几何性质推导曲率表达式。
• 通过与二维示例比较并计算向量场范数的积分，验证与 Otto 的形式曲率表达式的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L^2$-Wasserstein 度量下，零均值高斯测度空间的截面曲率的显式公式是什么？
• RQ2 在此空间中，曲率如何依赖于协方差矩阵的特征值？
• RQ3 零均值高斯测度空间是否为所有概率测度的 $L^2$-Wasserstein 空间的测地凸子流形？
• RQ4 此处推导出的曲率公式能否与无限维情形下 Otto 的形式表达式相协调？
• RQ5 从矩阵结构与特征值分解的角度看，曲率表达式的几何意义是什么？

主要发现

• 零均值高斯测度空间的截面曲率为非负，且仅取决于协方差矩阵的特征值。
• 对于切向量 $e_+$ 和 $f_{ij}$（其中 $i=1$ 或 $j=d$），曲率 $K(e_+,f_{ij}) = \frac{3\lambda_i\lambda_j}{(\lambda_i+\lambda_j)^2(\lambda_1+\lambda_d)}$。
• 当 $i,j,k$ 互异且 $j \neq k$ 时，曲率 $K(e_{ik},f_{ij}) = \frac{3\lambda_i\lambda_j}{(\lambda_i+\lambda_j)^2(\lambda_i+\lambda_k)}$。
• 曲率 $K(e_{ij},f_{ij}) = \frac{12\lambda_i\lambda_j}{(\lambda_i+\lambda_j)^3}$，对于相同指标，此值为所有曲率分量中的最大值。
• 对于具有不相交指标集的正交切向量对，如 $\{i,j\} \cap \{k,l\} = \emptyset$，曲率 $K(e_{ij},f_{kl}) = 0$。
• 当 $j \neq k$ 时，曲率 $K(f_{ij},f_{ik}) = \frac{3\lambda_j\lambda_k}{(\lambda_i+\lambda_j)(\lambda_j+\lambda_k)(\lambda_k+\lambda_i)}$，表明其对三个特征值具有对称依赖关系。