[论文解读] On weak solutions of stochastic differential equations with sharp drift coefficients

Jinlong Wei, Guangying Lv+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过将漂移系数分解为小时间正则部分与有界部分，证明了在条件 $2/q + d/p = 1$ 下，漂移系数属于临界 Lebesgue 空间 $L^p({\bb R}^d)$ 的随机微分方程（SDEs）弱解的存在性与唯一性。关键贡献在于证明了关联的转移半群具有路径唯一性与强 Feller 性质，将 Krylov 和 Röckner 的结果推广至临界情形，并在最优正则性条件下实现突破。

ABSTRACT

We extend Krylov and Röckner's result \cite{KR} to the drift coefficients in critical Lebesgue space, and prove the existence and uniqueness of weak solutions for a class of SDEs. To be more precise, let $b: [0,T] imes{\mathbb R}^d ightarrow{\mathbb R}^d$ be Borel measurable, where $T>0$ is arbitrarily fixed. Consider $$X_t=x+\int_0^tb(s,X_s)ds+W_t,\quad t\in[0,T], \, x\in{\mathbb R}^d,$$ where $\{W_t\}_{t\in[0,T]}$ is a $d$-dimensional standard Wiener process. If $b=b_1+b_2$ such that $b_1(T-\cdot)\in\mathcal{C}_q^0((0,T];L^p({\mathbb R}^d))$ with $2/q+d/p=1$ for $p,q\ge1$ and $\|b_1(T-\cdot)\|_{\mathcal{C}_q((0,T];L^p({\mathbb R}^d))}$ is sufficiently small, and that $b_2$ is bounded and Borel measurable, then there exits a unique weak solution to the above equation. Furthermore, we obtain the strong Feller property of the semi-group and existence of density associated with above SDE. Besides, we extend the classical partial differential equations (PDEs) results for $L^q(0,T;L^p({\mathbb R}^d))$ coefficients to $L^\infty_q(0,T;L^p({\mathbb R}^d))$ ones, and derive the Lipschitz regularity for solutions of second order parabolic PDEs (see Lemma 2.1).

研究动机与目标

• 将 Krylov 和 Röckner 关于不规则漂移 SDE 的结果推广至满足 $2/q + d/p = 1$ 的临界情形。
• 在漂移系数属于临界 Lebesgue 空间 $L^p({\bb R}^d)$ 且 $p,q \geq 1$ 的条件下，建立弱解的存在性与唯一性。
• 证明关联马尔可夫过程的强 Feller 性质及转移密度的存在性。
• 将经典 PDE 结果从 $L^q(0,T;L^p({\bb R}^d))$ 系数推广至空间 $L^\infty_q(0,T;L^p({\bb R}^d))$。

提出的方法

• 将漂移 $b = b_1 + b_2$ 分解，其中 $\mathcal{I}_T b_1 \in \mathcal{C}_q^0((0,T];L^p({\bb R}^d))$ 且范数较小，$b_2$ 有界且 Borel 可测。
• 应用时间反转变换 $\mathcal{I}_T$，将问题转化为时间正则设定以利于分析。
• 利用 Krylov 的先验估计与 Girsanov 定理，在 $\|\mathcal{I}_T b_1\|_{\mathcal{C}_q((0,T];L^p)}$ 范数较小的条件下，建立弱解的存在性与唯一性。
• 通过证明解流的正则性，利用 Yamada-Watanabe 理论建立路径唯一性。
• 通过证明转移半群在空间与时间上的连续性，推导出强 Feller 性质。
• 通过微分同胚变换转移核，并利用引理 4.3 中的可积性，证明密度的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在满足 $2/q + d/p = 1$ 的条件下，漂移系数属于临界 Lebesgue 空间 $L^p({\bb R}^d)$ 的 SDE 是否存在且唯一弱解？
• RQ2 此类 SDE 的转移半群是否具有强 Feller 性质？
• RQ3 经典 PDE 结果在 $L^q(0,T;L^p({\bb R}^d))$ 系数下的结论能否推广至空间 $L^\infty_q(0,T;L^p({\bb R}^d))$？
• RQ4 在临界正则性条件与时间反转漂移范数较小的条件下，路径唯一性是否可实现？

主要发现

• 当 $\|\mathcal{I}_T b_1\|_{\mathcal{C}_q((0,T];L^p)}$ 足够小时，且满足 $2/q + d/p = 1$，SDE 的弱解存在且唯一，其中漂移 $b = b_1 + b_2$。
• 关联 SDE 的转移半群具有强 Feller 性质，意味着转移概率在初值上连续。
• 转移概率测度几乎处处时间存在密度，且该密度对所有 $r \in [1,\infty)$ 满足 $L^r$ 可积性。
• 在临界条件 $2/q + d/p = 1$ 下，弱解的存在性与唯一性得以确立，将 Krylov 和 Röckner 的结果从亚临界区域推广至临界区域。
• 当 $\mathcal{I}_T b_1 \in \mathcal{C}_q^0((0,T];L^p({\bb R}^d))$ 时，路径唯一性成立，根据 Yamada-Watanabe 理论，意味着强解的存在。
• 本文将 PDE 正则性结果从 $L^q(0,T;L^p)$ 推广至 $L^\infty_q(0,T;L^p)$，证明了二阶抛物型 PDE 解的 Lipschitz 正则性。