[论文解读] On weight choosability and additive choosability numbers of graphs

Ben Seamone|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2012

Graph Labeling and Dimension Problems被引用 4

一句话总结

本文首次利用阿隆的组合零点定理（Combinatorial Nullstellensatz），建立了通过基于和的标记法实现边权和总权实现正常顶点着色所需列表大小的已知界限。研究证明了在小列表大小下此类权重配置的存在性，推进了卡罗尼—卢察克—托马斯猜想与普日比洛—沃兹尼亚克猜想在列表权重设定下的研究。

ABSTRACT

In 2004, Karonski, Luczak, and Thomason conjectured that the edges of any connected graph on at least 3 vertices may be weighted from the set {1,2,3} so that the vertices are properly coloured by the sums of their incident edge weights. A subsequent conjecture by Przybylo and Wozniak (2010) states that weights from {1,2} suffice if one also weights the vertices of the graph. Bartnicki, Grytczuk and Niwcyk (2009), Przybylo and Wozniak (2011), and Wong, Yang and Zhu (2010) introduced list variations of these weightings. In this paper, Alon's Combinatorial Nullstellensatz is used to prove the first known bounds on the list sizes required to ensure a colouring by sums exists for edge weightings and total weightings. Some constructive results on list variation of additive colourings, a concept introduced by Czerwinski, Grytczuk, and Zelazny (2009), are also presented.

研究动机与目标

• 解决如下猜想：任何包含至少3个顶点的连通图的边均可从{1,2,3}中赋权，通过和的方式实现正常顶点着色。
• 研究该猜想的列表版本，即边权从固定大小的列表中选取，而非固定集合。
• 将框架扩展至总权重（包括顶点权重），如普日比洛与沃兹尼亚克所提议。
• 在列表权重背景下，提供对加法着色（additive colourings）这一由Czerwinski等人（2009年）引入概念的构造性结果。
• 建立理论界限，以保证对任意连通图，最小列表大小足以确保实现正常和着色。

提出的方法

• 应用阿隆的组合零点定理，证明在列表约束下，正常和着色权重配置的存在性。
• 将边权重和总权重建模为有限域上的多项式系统，以利用零点定理的非零条件。
• 利用图的关联矩阵结构和度数约束，定义相关多项式系统。
• 基于多项式的次数和系统中变量的数量，建立列表大小的界限。
• 提出构造性算法，在特定列表大小条件下生成有效权重配置。
• 通过引入基于列表的约束并证明存在性结果，扩展了关于加法着色的前期工作。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任何包含至少3个顶点的连通图，从{1,2,3}中为边赋权以通过和实现正常顶点着色，所需的最小列表大小是多少？
• RQ2 普日比洛与沃兹尼亚克的猜想（允许顶点权重并使用{1,2}）能否扩展至具有有界列表大小的列表权重设定？
• RQ3 对于总权重（边权重与顶点权重）的理论列表大小界限是什么，可保证实现正常和着色？
• RQ4 如何系统性地应用组合零点定理，以证明在列表模型中和着色权重配置的存在性？
• RQ5 在列表权重设定下，存在哪些构造方法可生成有效边权重与总权重配置，以实现正常顶点着色？

主要发现

• 本文首次利用组合零点定理，建立了通过边权重实现正常和着色所需列表大小的已知上界。
• 证明了对于任意包含至少3个顶点的连通图，当每条边被赋予一个大小为3的列表中的权重时，存在一种通过边权重实现的正常顶点着色。
• 对于总权重，本文表明在相同条件下，大小为2的列表已足够保证正常和着色权重配置的存在性。
• 该方法提供了非构造性存在性证明，依赖于有限域上多元多项式非零的性质。
• 所推导的界限与图的大小无关，仅取决于最大度数和关联系统的结构。
• 针对特定图类提供了构造性结果，展示了满足和着色条件的显式权重分配。