[论文解读] On weighted Montogomery identities for Riemann-Liouville fractional integrals

Mehmet Zeki Sarıkaya, Hatice Yaldız|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文引入了用于黎曼-刘维尔分数阶积分的加权蒙哥马利恒等式，将经典的奥斯特定不等式推广至带有权函数的分数阶微积分。通过广义佩亚诺核框架，推导出新的分数阶奥斯特定不等式，其界取决于导数的上确界与权函数的分布，推广了无权和经典情形下的先前结果。

ABSTRACT

In this paper, we extend the weighted Montogomery identities for the Riemann-Liouville fractional integrals. We also use this Montogomery identities to establish some new Ostrowski type integral inequalities.

研究动机与目标

• 将经典的蒙哥马利恒等式推广至带有权函数的黎曼-刘维尔分数阶积分。
• 建立涉及分数阶积分与权函数的新奥斯特定积分不等式。
• 统一并推广对导数有界函数的现有奥斯特定不等式。
• 将经典与加权奥斯特定不等式作为所提框架的特例恢复。
• 提供基于导数上确界范数的分数阶积分近似误差的精确界。

提出的方法

• 通过子区间上权函数的积分，定义加权分数阶佩亚诺核 $ \Omega_w(x,t) $。
• 利用黎曼-刘维尔分数阶积分 $ J_a^\alpha $ 和伽马函数 $ \Gamma(\alpha) $，推导广义加权蒙哥马利恒等式。
• 对核加权导数的分数阶积分应用分部积分法，将 $ f(x) $ 表示为加权分数阶积分的形式。
• 利用三角不等式与 $ |f'(x)| \leq M $ 的界，推导误差估计。
• 通过交换积分次序计算所得积分，将误差界表示为 $ A(x) $ 与 $ B(x) $ 的形式。
• 利用结构 $ \left| m(a,b)f(x) - \text{fractional terms} \right| \leq \frac{M(b-x)^{1-\alpha}}{\alpha} \left[ A(x) - (b-x)^\alpha B(x) \right] $ 建立主要不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的蒙哥马利恒等式推广至具有任意权函数的分数阶积分？
• RQ2 黎曼-刘维尔积分的加权分数阶佩亚诺核具有何种形式？
• RQ3 所得的奥斯特定不等式如何依赖于权函数与分数阶阶数 $ \alpha \geq 1 $？
• RQ4 新不等式能否作为特例恢复已知的经典与分数阶奥斯特定界？
• RQ5 基于导数上确界范数的误差界在多大程度上是精确的？

主要发现

• 本文通过新型加权分数阶佩亚诺核 $ \Omega_w(x,t) $，建立了黎曼-刘维尔分数阶积分的新加权蒙哥马利恒等式。
• 所导出的奥斯特定不等式将 $ f(x) $ 与加权分数阶积分均值的偏离度限制在 $ \frac{M(b-x)^{1-\alpha}}{\alpha} \left[ A(x) - (b-x)^\alpha B(x) \right] $ 之内，其中 $ A(x) $ 与 $ B(x) $ 为涉及权函数的积分。
• 当 $ w(u) = 1 $ 时，不等式退化为 Anastassiou 等人提出的定理 4.1，验证了与先前结果的一致性。
• 当 $ \alpha = 1 $ 且 $ w(u) = 1 $ 时，经典蒙哥马利恒等式被恢复，验证了该推广的正确性。
• 该界在精确意义下成立，因其依赖于导数上确界与权函数分布的最佳可能常数。
• 该框架可应用于具有任意权函数的分数阶积分在数值积分中的误差估计。