[论文解读] On what I do not understand (and have something to say), model theory

Saharon Shelah|ArXiv.org|Oct 28, 1999

Advanced Topology and Set Theory参考文献 49被引用 51

一句话总结

本文提出了一项个人化的、非标准的模型论开放问题探索，聚焦于两基数定理、分割定理及其与集合论和组合数学的联系。它通过分割关系中的恒等式对两基数性质进行了刻画，证明了关于 $(\aleph_\omega, \aleph_0) \rightarrow (2^{\aleph_0}, \aleph_0)$ 的新两基数定理，并研究了有限与无限分割函数，包括与 Hales-Jewett 数相关的界限以及群作用下的着色问题。

ABSTRACT

This is a non-standard paper, containing some problems, mainly in model theory, which I have, in various degrees, been interested in. Sometimes with a discussion on what I have to say; sometimes, of what makes them interesting to me, sometimes the problems are presented with a discussion of how I have tried to solve them, and sometimes with failed tries, anecdote and opinion. So the discussion is quite personal, in other words, egocentric and somewhat accidental. As we discuss many problems, history and side references are erratic, usually kept at a minimum ("See..." means: see the references there and possibly the paper itself). The base were lectures in Rutgers Fall '97 and reflect my knowledge then. The other half, math.LO/9906113, concentrating on set theory, is in print, but the two halves are independent. We thank A. Blass, G. Cherlin and R. Grossberg for some corrections.

研究动机与目标

• 探索模型论中未解决的问题，特别是两基数定理及其与 ZFC 的独立性。
• 通过 $(\lambda, \mu)$-关系中的恒等式概念，研究两基数定理与分割关系之间的联系。
• 使用基于恒等式的刻画，为两基数定理 $(\aleph_\omega, \aleph_0) \rightarrow (2^{\aleph_0}, \aleph_0)$ 提供新的证明。
• 研究有限与无限分割函数，包括其界限及其与 Hales-Jewett 数的关系。
• 考察群作用与组合着色中单色构型的存在性与性质。

提出的方法

• 通过 $\text{Id}(\lambda, \mu)$ 中的恒等式刻画两基数定理，其中 $ (\lambda, \mu) \rightarrow (\lambda_1, \mu_1) $ 当且仅当 $ \text{Id}(\lambda, \mu) \supseteq \text{Id}(\lambda_1, \mu_1) $。
• 利用 $\text{Ded}'(\mu)$ 的树与线性序刻画，证明当 $ \text{Ded}'(\mu_2) > \mu_1 \geq \mu_2 $ 时，有 $ (\lambda^{+\omega}, \lambda) \rightarrow (\mu_1, \mu_2) $。
• 应用 Hales-Jewett 定理及其多维变体，以 $ HJ(|\Lambda|^m, c) $ 表示来界定分割函数 $ f^{10}_\Lambda(m,c) $ 和 $ f^9_* $。
• 将 $ f^{12}(m,c) $ 定义为最小的 $ k $，使得任意 $ c $-着色的 $ \text{seq}([0,k)) $ 都存在某个 $ \bar{\eta} \in \text{seq}^*_m(A) $，使得其 $ \text{son}(\bar{\eta}) $ 为单色。
• 引入基于群的分割关系 $ G \rightarrow (Y,H)_{\kappa} $，其中 $ Y \subseteq H $，并研究在 $ \kappa $-着色下单色嵌入的存在性。
• 将复杂的分割问题约化为树、序列和置换群等组合结构，特别是通过 $ \Lambda^* $-构造和限制映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在非平凡的、在 ZFC 中可证明的 $ n $-基数定理，超出经典情形？它们是否都依赖于基数算术假设？
• RQ2 对于某些 $ \lambda \geq \mu $，陈述 $ (\lambda, \mu) \nrightarrow (\lambda, \mu) $ 是否一致？即 $ (\lambda, \mu) $ 是否不是 $ \aleph_0 $-紧致的？
• RQ3 能否为分割函数 $ f^8, f^9, f^{10} $ 提供比从 Hales-Jewett 数导出的更优界限？
• RQ4 对所有 $ m, c $，$ f^{12}(m,c) $ 是否有限？即任意 $ c $-着色的 $ \text{seq}([0,k)) $ 是否都存在某个 $ \bar{\eta} \in \text{seq}^*_m(A) $，使得 $ \text{son}(\bar{\eta}) $ 为单色？
• RQ5 对于有限置换群 $ H $，是否存在一个群 $ G $，使得对某个共轭类 $ Y $ 和有限 $ c $，有 $ G \rightarrow (Y,H)_c $，特别是当 $ Y $ 由对合组成时？

主要发现

• 通过 $ \text{Ded}'(\mu) $ 的刻画，证明了两基数定理 $ (\aleph_\omega, \aleph_0) \rightarrow (2^{\aleph_0}, \aleph_0) $ 成立，条件是 $ \text{Ded}'(\mu_2) > \mu_1 \geq \mu_2 $。
• 等价关系 $ (\lambda, \mu) \rightarrow_{\kappa} (\lambda_1, \mu_1) $ 成立当且仅当 $ \text{Id}(\lambda, \mu) \supseteq \text{Id}(\lambda_1, \mu_1) $，其中 $ \Rightarrow $ 恒成立，而 $ \Leftarrow $ 在如 $ \mu_1 = \mu^{\aleph_0} $ 等条件下也成立。
• 分割函数 $ f^{10}_\Lambda(m,c) $ 满足 $ f^{10}_\Lambda(m,c) \leq m \times HJ(|\Lambda|^m, c) $，表明其与 Hales-Jewett 数相差不远。
• 函数 $ f^9_* $ 满足 $ f^9_*(\Gamma)(m,c) \leq m \times HJ(|\Gamma|^m, c) $，表明其具有相似的增长行为。
• 通过 $ |\Lambda^*| $-维 van der Waerden 定理，建立了 $ d $-单色构型 $ \{\bar{\ell}^*, \bar{\ell}^\alpha : \alpha \in \Lambda^* \} $ 的存在性，从而证明了 $ (\aleph_\omega, \aleph_0) \rightarrow (2^{\aleph_0}, \aleph_0) $ 证明中的关键命题。
• 本文表明，$ f^{12}(m,c) $ 有限当且仅当任意 $ c $-着色的 $ \text{seq}([0,k)) $ 都存在单色 $ \text{son}(\bar{\eta}) $，且该性质与群作用及置换对称性相关。