[论文解读] On Winning Conditions of High Borel Complexity in Pushdown Games

Olivier Finkel|ArXiv.org|Mar 12, 2008

semigroups and automata theory参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文研究了在下推博弈中高 Borel 复杂度的获胜条件，表明玩家的获胜位置集合可以是非确定性的、非歧义的、固有歧义的，甚至是非上下文无关的 ω-语言。通过证明此类获胜集合并不局限于确定性上下文无关语言，解决了开放问题，明确了其在 ω-语言层次中的精确表达能力。

ABSTRACT

Some decidable winning conditions of arbitrarily high finite Borel complexity for games on finite graphs or on pushdown graphs have been recently presented by O. Serre in [ Games with Winning Conditions of High Borel Complexity, in the Proceedings of the International Conference ICALP 2004, LNCS, Volume 3142, p. 1150-1162 ]. We answer in this paper several questions which were raised by Serre in the above cited paper. We first show that, for every positive integer n, the class C_n(A), which arises in the definition of decidable winning conditions, is included in the class of non-ambiguous context free omega languages, and that it is neither closed under union nor under intersection. We prove also that there exists pushdown games, equipped with such decidable winning conditions, where the winning sets are not deterministic context free languages, giving examples of winning sets which are non-deterministic non-ambiguous context free languages, inherently ambiguous context free languages, or even non context free languages.

研究动机与目标

• 解决 Serre（2005）关于下推博弈中获胜条件表达能力的开放问题。
• 分析类 $\mathbb{C}_n(A)$ 和 $\mathbb{C}_n^\lambda(A)$，表明它们由非歧义的上下文无关 ω-语言及其补集构成。
• 确定下推博弈中的获胜集合是否超出确定性上下文无关语言的类。
• 研究 $\mathbb{C}_n(A)$ 在并集和交集下的封闭性质。
• 构造显式示例，展示 Eve 的获胜集合并非确定性上下文无关语言。

提出的方法

• 将类 $\mathbb{C}_n(A)$ 定义为所有语言 $L(\mathcal{A}_1 \rhd \cdots \rhd \mathcal{A}_n \rhd \mathcal{A}_{n+1})$ 的集合，其中包含栈无界性与接受条件的确定性下推自动机。
• 利用栈极限语言的结构，证明 $\mathbb{C}_n(A)$ 中的语言是非歧义的上下文无关 ω-语言。
• 引入更大的类 $\mathbb{C}_n^\lambda(A)$ 以分析补集，表明其同样为非歧义的上下文无关语言。
• 构造显式下推博弈，其获胜条件为 $\Omega_{\mathcal{A}_1 \rhd \mathcal{A}_2}$，以证明获胜集合可以是固有歧义的或非上下文无关的。
• 使用上下文无关语言的泵送引理，证明 $\{a^n b^n c^n \mid n \geq 1\}$ 不是上下文无关语言，并将其应用于证明获胜集合的非上下文无关性。
• 分析下推博弈中 Eve 的获胜位置依赖于多个无限博弈路径的配置，利用栈无界性与极限接受条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高 Borel 复杂度的下推博弈中，获胜位置集合是否被限制在确定性上下文无关语言类中？
• RQ2 类 $\mathbb{C}_n(A)$ 及其补集能否被表征为非歧义的上下文无关 ω-语言？
• RQ3 类 $\mathbb{C}_n(A)$ 在并集和交集下是否封闭？
• RQ4 下推博弈中的获胜集合是否可以是固有歧义的，甚至是非上下文无关的？
• RQ5 获胜条件 $\Omega_{\mathcal{A}_1 \rhd \cdots \rhd \mathcal{A}_{n+1}}$ 的表达能力在 ω-语言类中的表现为何？

主要发现

• 类 $\mathbb{C}_n(A)$ 包含于非歧义的上下文无关 ω-语言类中。
• 通过更大的类 $\mathbb{C}_n^\lambda(A)$ 证明，$\mathbb{C}_n(A)$ 中语言的补集同样是非歧义的上下文无关 ω-语言。
• 类 $\mathbb{C}_n(A)$ 在并集和交集下均不封闭。
• 存在下推博弈，其获胜条件为 $\Omega_{\mathcal{A}_1 \rhd \mathcal{A}_2}$，使得 Eve 的获胜集合为固有歧义的上下文无关语言，具体为 $\{a^n b^m c^p \mid n,m,p \geq 1 \text{ 且 } (n=m \text{ 或 } m=p)\}$。
• 存在下推博弈，其获胜集合为非上下文无关语言，例如 $\{a^n b^n c^n \mid n \geq 1\}$，该结论通过封闭性质与泵送引理得到证明。
• 本文确认，下推博弈中的获胜集合可以是非确定性的、非歧义的、固有歧义的，或非上下文无关的，因此超越了确定性上下文无关语言类。